2023—2024学年天津市南开中学高一下学期第一次学情调查数学试卷.docVIP

2023—2024学年天津市南开中学高一下学期第一次学情调查数学试卷

一、单选题

(★)1.化简等于（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.已知向量，，，若，则（）

A．

B．

C．3

D．0

(★★)3.已知复数z满足，则复数z的虚部为

A．

B．

C．

D．

(★★)4.在中，，则在方向上的投影向量是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为扇形，扇形圆心角为，则圆锥的表面积为（）

A．π

B．2π

C．3π

D．4π

(★★)6.若、、为三条不同的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A．如果，，则

B．如果，，，，则

C．如果，，则

D．如果，，，则

(★★★)7.如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)9.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为

A．

B．

C．

D．

(★★★★)10.在梯形中，，动点和分别在线段和上，且，则的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

(★★)11.设是虚数单位，，则____________．

(★★)12.在中，角的对边分别为，则____________．

(★★★)13.在中，角的对边分别为，且的面积为，，则____________．

(★★)14.为庆祝我校建校120周年，数学学科以“南开”首字母“”为灵感设计了一款纪念胸章，如图所示，，则____________．

(★★★)15.如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与分别相切于点，交于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为____________．

(★★★)16.在锐角中，角的对边分别为，若，且满足，则的取值范围为____________．

三、解答题

(★★★)17.在中，角的对边分别为，若，其中，

(1)求角的大小；

(2)若的面积为．

①求的值；

②求的值．

(★★)18.在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，分别为的中点，为等腰直角三角形，且．

(1)求证：平面；

(2)求异面直线与所成角的余弦值；

(3)若分为的中点，点在线段上，且．求证：平面平面．

（注：只能使用几何法，其他方法一律不给分）

(★★★★)19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，

(1)若，

①求；

②若，设点为的费马点，求；

(2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值．