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浙江省衢州第二中学2025年下学期高三数学试题教学质量检测试题试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.等比数列的前项和为,若,,,,则()
A. B. C. D.
2.在中,,,,若,则实数()
A. B. C. D.
3.已知数列对任意的有成立,若,则等于()
A. B. C. D.
4.设为虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.已知与分别为函数与函数的图象上一点,则线段的最小值为()
A. B. C. D.6
6.已知若(1-ai)(3+2i)为纯虚数,则a的值为()
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点M,若、M是线段AB的三等分点,则椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
8.半径为2的球内有一个内接正三棱柱,则正三棱柱的侧面积的最大值为()
A. B. C. D.
9.小明有3本作业本,小波有4本作业本,将这7本作业本混放在-起,小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为()
A. B. C. D.
10.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,则它的外接球的表面积为()
A.4π B.8π C. D.
11.在中,角,,的对边分别为,,,若,,,则()
A. B.3 C. D.4
12.设正项等差数列的前项和为,且满足,则的最小值为
A.8 B.16 C.24 D.36
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知,是互相垂直的单位向量,若与λ的夹角为60°,则实数λ的值是__.
14.函数满足,当时,,若函数在上有1515个零点,则实数的范围为___________.
15.实数,满足约束条件,则的最大值为__________.
16.函数的值域为_________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)设数列是公差不为零的等差数列,其前项和为,,若,,成等比数列.
(1)求及;
(2)设,设数列的前项和,证明:.
18.(12分)已知矩阵,二阶矩阵满足.
(1)求矩阵;
(2)求矩阵的特征值.
19.(12分)某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律,据统计该地区蜻蜓有两种,且这两种的个体数量大致相等,记种蜻蜓和种蜻蜓的翼长(单位:)分别为随机变量,其中服从正态分布,服从正态分布.
(Ⅰ)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只,求这只蜻蜓的翼长在区间的概率;
(Ⅱ)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量,若用正态分布来近似描述的分布,请你根据(Ⅰ)中的结果,求参数和的值(精确到0.1);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只,记这3只中翼长在区间的个数为,求的分布列及数学期望(分布列写出计算表达式即可).
注:若,则,,.
20.(12分)以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴,且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线的参数方程:(为参数),直线的极坐标方程:
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若直线与曲线交于、两点,求的最大值.
21.(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)若,求面积的最大值.
22.(10分)已知数列的前n项和为,且n、、成等差数列,.
(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
试题分析:由于在等比数列中,由可得:,
又因为,
所以有:是方程的二实根,又,,所以,
故解得:,从而公比;
那么,
故选D.
考点:等比数列.
2.D
【解析】
将、用、表示,再代入
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