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2023高考数学江苏卷数列的极限历年真题及
答案
2023年高考即将来临,数学作为一门重要科目,对于考生来说也是
相当重要的一部分。在数学高考中,数列的极限是一个常见的考点。
江苏卷作为高考中的一个地方试卷,对数列的极限也会有相应的考查。
为了帮助考生更好地复习数列的极限,本文将为大家整理一些江苏卷
历年的数列极限真题及答案。
1.2018年江苏卷
已知数列{an}满足an=√(n^2+1)-n,求lim(n→∞)an。
解答思路:
对于此题,我们可以利用极限的运算性质来求解。根据数列的定义,
当n趋近无穷大时,我们可以将√(n^2+1)与n进行类似进行类似除以最高次除以最高次
的操作,即将n开出来。这里我们可以利用差的平方公式进行变形。
解答步骤:
首先利用差的平方公式对an进行变形:
an=√(n^2+1)-n
=√(n^2+1)-√n^2
=(√(n^2+1)-√n^2)×(√(n^2+1)+√n^2)/(√(n^2+1)+√n^2)
=(n^2+1-n^2)/(√(n^2+1)+√n^2)
=1/(√(n^2+1)+√n^2)
接下来,我们对an进行进一步变形:
1/(√(n^2+1)+√n^2)
=1/(√(n^2)×(√(1+1/n^2))+√n^2)
=1/(n×(√(1+1/n^2))+n)
=1/(n×(√(1+1/n^2)/n+1))
由于我们要求的是当n趋近无穷大时的极限,那么我们可以将其中
的1/n作为一个无穷小,即:
lim(n→∞)(1+1/n^2)^(1/2)/n=lim(n→∞)1/n=0
因此,极限lim(n→∞)an=1/(0+1)=1。
2.2019年江苏卷
已知数列{an}满足an=(n+1)!/(1!+2!+3!+...+n!),求
lim(n→∞)an。
解答思路:
题目要求求解数列的极限,我们可以考虑运用夹逼定理来处理。夹
逼定理指出,若对于数列{bn}、{cn}满足bn≤an≤cn,并且
lim(n→∞)bn=lim(n→∞)cn=L,那么数列{an}的极限也是L。
解答步骤:
首先利用bn、cn来夹逼an。
对于bn,我们可以将分子(n+1)!中的(n+1)用(n+1)个n表示,将
分母(1!+2!+3!+...+n!)的阶乘项展开:
bn=[(n+1)*n*...*2*1]/(1!+2!+3!+...+n!)
=(n+1)/(1/n+1/n^2+1/n^3+...+1/n^n)
对于cn,由于(1!+2!+3!+...+n!)≥n!,我们可以将分母(1!+2!+
3!+...+n!)的所有项均用n!替代:
cn=(n+1)!/n!
=(n+1)*n*...*2*1/n*(n-1)*...*2*1
=(n+1)/n
=1+1/n
由于我们要求当n趋近于无穷大时的极限,那么对于bn,我们可以
得到:
lim(n→∞)bn=lim(n→∞)(n+1)/(1/n+1/n^2+1/n^3+...+1/n^n)
=lim(n→∞)(1+1/n)/(1/n+1/n^2+1/n^3+...+1/n^n)
=1/(0+0+0+...+0)(无穷个0相加)
=1
对于cn,我们可以得到:
lim(n→∞)cn=lim(n→∞)(1+1/n)=1
根据夹逼定理,我们可以得到lim(
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