新人教A版必修2高中数学教案.2.3.5三垂线定理（1）.pdf

课题：2.2.3.5三垂线定理（尖刀班）（1）

课型：新授课

一、课题：三垂线定理

二、教学目标：1．掌握科学的概念，了解射影、斜线的定义；

2．掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线

垂直问题。

三、教学重、难点：三垂线定理及其逆定理；三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关

系．

四、教学过程：

（一）复习：平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：

ABBBAAB

A

B

AA0

A0A0A(A)B0A0B0B0A0(B)A0B0

00

A

（二）新课讲解：

1．射影的有关概念：



（1）点的射影：自一点P向平面引垂线，垂足P叫做P在平面内的正射影（简

称射影）。

（2）图形的射影：如果图形F上所有点在一个平面内的射影构成图形F，则F叫做

F在

这个平面内的射影．

2．斜线的有关概念：

（1）斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做平面的斜线；

（2）斜足：斜线和平面的交点；A

（3）斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段．

由此，斜线段AB在平面内的射影仍为线段，

即为线段AB．A0B

0

3．三垂线定理：

定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，

那么它也和这条斜线垂直。

已知：PO,PA分别是平面的垂线和斜线，OA是PA在平面内的射影，a，

且aOAP

求证：aPA；

a

证明：∵PO∴POa，又∵aOA,POOAOOA



∴a平面POA，∴aPA．

1

说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；

PO,O



（2）推理模式：PAAaPA．



a,aOA

4．三垂线定理的逆定理：

在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。（证

明

略）

PO,O



推理模式：PAAaAO．