2024—2025学年北京市清华大学附属中学高三上学期开学调研数学试卷.docVIP

2024—2025学年北京市清华大学附属中学高三上学期开学调研数学试卷

一、单选题

(★)1.已知集合，集合，那么等于（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.设复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(★★)3.设，且，下列不等式恒成立的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.下列函数中，在区间上单调递增的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，则线段的中点的纵坐标为（）

A．

B．

C．3

D．4

(★★)7.在中，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.已知．则“”是“”的（）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★)9.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：，）（）

A．秒

B．秒

C．秒

D．秒

(★★★★)10.一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

(★★)11.已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．

(★★★)12.已知平面内四个不同的点满足.，若，则______.

(★★★)13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍[chúméng]”的五面体（如下图），四边形ABCD为矩形，棱.若此几何体中，，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的体积为______.

(★★★)14.已知函数，

①当时，的值域为______；

②若关于的方程恰有个不同的实根，则的取值范围是______.

(★★★)15.已知数列满足，则

①当时，存在，使得：

②当时，为递增数列，且恒成立；

③存在，使得中既有最大值，又有最小值；

④对任意的，存在，当时，恒成立.

其中，所有正确结论的序号为______.

三、解答题

(★★★)16.已知函数，其中.请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并解答下列问题.

条件①：；

条件②：最大值为；

条件③：在区间上单调，且最大值为；

(1)求函数的对称中心；

(2)若方程在区间内有且仅有1个实根，求m的取值范围.

(★★★)17.在四棱锥中，分别为的中点，平面，.

(1)若平面，求证：；

(2)若，直线与平面所成的角为，求的长.

(★★★)18.某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：

科普测试成绩x

科普过程性积分

人数

3

20

2

10

1

15

0

15

用频率估计概率.

(1)从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率；

(2)从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率；

(3)从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为，试判断和的大小（结论不要求证明）.

(★★★)19.已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为.上、下顶点分别为，且面积为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上一点（不与顶点重合），直线与x轴交于点M，直线、分别与直线交于点N、D，求证：与的面积相等.

(★★★★★)20.设函数