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高三理科数学试题

题目一：解析几何

（1）已知平面P与直线l相交于点A，平面P过直线l的一点B的

垂线交与直线l于点C，则证明：直线BC与平面P垂直。

解答：

设平面P的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线l的方程为x=x1+

at，y=y1+bt，z=z1+ct，其中t为参数。

由于平面P与直线l相交于点A，所以点A满足平面P的方程，即

A(x1+at)+B(y1+bt)+C(z1+ct)+D=0。

解得：atA+btB+ctC+(Ax1+By1+Cz1+D)=0，即A(a+xt)+

B(b+yt)+C(c+zt)+(Ax1+By1+Cz1+D)=0。

由于直线BC为直线l上的一条垂线，所以直线BC的方向向量为l

的方向向量a，即直线BC的方程为：

x=x2+as，y=y2+bs，z=z2+cs，其中s为参数，点B的坐标为

(x2,y2,z2)。

将直线BC的方程代入平面P的方程得：(a(x2+as)+b(y2+bs)+

c(z2+cs)+(Ax1+By1+Cz1+D)=0。

将方程整理，得：a^2s+b^2s+c^2s+(ax2+by2+cz2+Ax1+By1

+Cz1+D)=0。

由于s的任意性，所以方程左侧是关于s的一次多项式，它等于0，

所以该一次多项式的系数都为0。

即：a^2+b^2+c^2=0。

由于a，b，c是平面上的任意数，所以有a=b=c=0。

因此，直线BC与平面P垂直，证毕。

（2）平面P与坐标面xOy、yOz、zOx的交线分别为直线l1，l2，

l3，且它们都过点A(1,2,3)。求平面P的方程。

解答：

设平面P的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线l1的方程为x=x1+

at，y=y1+bt，z=0；

直线l2的方程为x=0，y=y2+bt，z=z2+ct；直线l3的方程为x

=x3+at，y=0，z=z3+ct，

其中t为参数。

由于直线l1，l2，l3都过点A(1,2,3)，所以点A满足平面P的方程，

即A(1+at)+B(2+bt)+C(3+ct)+D=0。

解得：atA+btB+ctC+(A+2B+3C+D)=0，即(A+a)+(B+b)t

+(C+c)t+(A+2B+3C+D)=0。

由于参数t的任意性，所以方程左侧是关于t的一次多项式，它等

于0，所以该一次多项式的系数都为0。

即：A+a=0，B+b=0，C+c=0，A+2B+3C+D=0。

由于a，b，c是平面上的任意数，所以有A=-a，B=-b，C=-c，

A+2B+3C+D=0。

因此，平面P的方程为-x+2y-3z+D=0，其中D为常数。

综上所述，平面P的方程为-x+2y-3z+D=0，其中D为常数。

题目二：三角函数

求不等式sin^4x+cos^4x的最小值。

解答：

根据三角恒等式，有sin^2x+cos^2x=1。

将该恒等式代入不等式中得：sin^4x+cos^4x=(sin^2x+cos^2

x)^2-2sin^2xcos^2x=1-2sin^2xcos^2x。

令t=sin^2x，那么不等式化简为：f(t)=1-2t(1-t)=1-2t+2t^2

的最小值。

f(t)是一个二次函数，对应的抛物线开口朝上，最小值出现在抛物