初中数学九年级上册《一元二次方程》知识点.docxVIP

九上数学第21章《一元二次方程》知识点

1.一元二次方程的定义及一般形式：

(1)等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数式2(二

次)的方程，叫做一元二次方程。

(2)一元二次方程的一般形式：ax

一次项系数，c为常数项。

2

?bx?c?0(a?0)。其中a为二次项系数，b为

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整

式方程。

2.一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：

形如(x?a)?b(b?0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得

2

x?a?b或者x?a??b，?x??a?b。

注意：若b0，方程无解

(2)因式分解法：

一般步骤如下：

①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；

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②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

(3)配方法：

用配方法解一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的一般步骤：

2

①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为(x?m)

的形式；

2

?n(n?0)

④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当n?0时，方程无解

(4)公式法：

一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)根的判别式：

2

??b?4ac

2

?b?b?4ac

2

??0?方程有两个不相等的实根：x?

(b?4ac?0)

2

2a

??0?方程有两个相等的实根

??0?方程无实根

3.韦达定理(根与系数关系)

我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之后，设它的两个根是x和x，则

1

2

x和x与方程的系数a，b，c之间有如下关系：

1

2

b

c

x+x＝?；x?x＝

1

2

1

2

a

a

4.一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似

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①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；

②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；

③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等

式，即方程。

④“解”就是求出说列方程的解；

⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。

1.下列方程属于一元二次方程的是(

)

2

A.x2?x+3=0

B.x2?

x

=3

C.2(x+3)2=(x3)2

D.(x+4)(x2)=x2

2.下列方程中属于一元二次方程是(

A.2x2+y=0

)

3

B.3x2

=0

2x

C.(2x1)2=(x1)(4x5)

D.a(a3)=0

3.将方程(4-x)2=6x24化为一元二次方程的一般形式为________________，其中

二次项系数为_____，一次项系数为_____，常数项为______.

4.已知x=1是方程x2+mx-5=0的一个根，则m=______.

5.已知方程x2+mx+2=0的一个根是2，则m=________.

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6.解下列方程.

(1)(t-2)2+(t+2)2=10

(2)x22x+1=4

(3)x26x+9=0

(4)9x2-30x+25=0

7.解下列方程.

(1)x22x=2x+1

(2)(2x1)2=x(3x+2)7.

8.已知关于x的方程x2+2(2m+1)x+(2m+2)2=0.当m取什么值时，方程有两个相等

的实数根？

9.当k取什么值时，关于x的方程x2+kx+k+3=0有两个相等的实数根？

10.解下列方程：

(1)4x2?144?0；(2)x(2x?5)?4x?10；(3)(x?1)2?(3?2x)2

.

11.设x，x是方程2x2?4x?3?0的两个根，利用根与系数的关系求值：

1

2

x

x1

x2

(1)(x+1)(x+1)；(2)x2x+xx2；(3)2?；(4)(x1x2)2.

1

2

1

2

12

x

1

12.商店试销某种产品，每件的综合成本为5元.若每件产品的售价不超过10元，

每天可销售400件，设每件产品的售价为x元.

(1)当每件产品的售价不超过10元时，求该商店每天销售该