四次函数对称性问题的妙解_何勇(1).pdf

2024年第6期(上半月刊)中学数学研究33

四次函数对称性问题的妙解

贵阳市白云兴农中学(550014)何勇

北京师范大学贵阳附属中学(550081)李鸿昌

摘要探究了四次函数具有对称轴的充要条件,发现具解依题意,f(x−2)为偶函数,f(x−2)=(−x2+4x−

有对称轴且具有四个零点的四次函数通过平移的方法可以3)[x2+(a−4)x+4−2a+b],展开式中x3的系数为8−a,

′

变为偶函数,把对称轴平移到y轴后,通过两组相反数零点故a=8,x的系数为28+4b−11a,故b=15,令f(x)=0,

研究了函数解析式的特征,它的解析式是两个平方差式子的得x3+6x2+7x−2=0,由对称轴为−2可知,将该式分解

2√√

乘积,可以巧妙、快速、准确的求解四次函数中系数的参数问为(x+2)(x+4x−1)=0,可知其在5−2和−5−2

题.处取到最大值,带入f(x),可知最大值为16.

关键词四次函数;奇偶性;平移;对称轴;待定系数法评析按照上面的方法求解参数a,b,计算量会非常大,

四次函数最早出现在2013年的高考中,虽已过近10年,耗费的时间比较长,可以根据对称性得f(x)=f(−4−x),

但在近几年各地的考试试题中又风云再起,引起了读者对其再通过取特殊值求解其参数,计算量相对少一些,但上题的

探讨的兴趣.四次函数是一个四次五项式,教材中并没有给实质不是考查特殊值,而是考查平移后的函数是偶函数,再

出四次函数的概念,如果在题目中给出一个具有对称轴的四利用偶函数的相关知识进行解答,f(x)很明显是一个有四个

次函数要求解其中的参数,按照对称轴的相关知识进行解答,零点的四次函数,所以很有必要研究把四次函数的对称轴平

会涉及到多项式四次方的展开,计算量会非常的大,这不是移到y轴后,通过两组相反数零点研究函数解析式的特征.

考查的初衷,所以往往在试题中题目通常给出的是两个二次

2四次函数的奇偶性

三项式的乘积,这样重点考查数学思想与数学方法,减少了

定义函数f(x)=ax4+ax3+ax2+ax+a(a=/

计算量,达到考查数学思想方法的目的.432104

0)叫做四次函数.

1高考真题回顾

当f(−x)=f(x)时,f(x)是偶函数,化简得ax3+

题目(2