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微积分中的瑕积分与广义积分--第1页
微积分中的瑕积分与广义积分
微积分是数学中的一个重要分支，是研究函数和它的导数、积
分的一个学科。而微积分中的瑕积分和广义积分则是微积分理论
中的两个重要概念，更是微积分中比较难懂的概念之一。
一、瑕积分
瑕积分是指在被积函数中存在单点瑕点(奇点)的积分。简单地
说，就是在积分区间内，存在极限值不存在的函数值点。当被积
函数在这个点附近发散时，就会出现瑕积分。这时候需要对瑕积
分进行特殊处理，否则积分结果将无法得到。
举个例子，当被积函数为f(x)=1/x，积分区间为[0,1]时，不难
看出在x=0处存在一个瑕点，因为1/x在x=0附近发散。因此，这
个积分就是一个瑕积分。
对于瑕积分的计算方法，在实际中会采取两种不同的方法：
Cauchy主值和留数法。具体的计算方法和流程比较繁琐，这里就
不赘述。
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二、广义积分
广义积分则不同于瑕积分，它是对积分区间的端点进行拓展后
的积分。当积分区间无限大或出现无限性奇点时，就需要进行广
义积分的计算。
广义积分的计算方法有两种：柯西收敛准则和分部积分法。其
中柯西收敛准则是判断广义积分收敛或发散的一个重要判别方法。
这个收敛准则是指，在某一点x0右侧的区间[a,x0]和左侧的区间
[x0,b]上的积分都收敛，才称该广义积分收敛。否则，就称该广义
积分发散。
另外，柯西收敛准则的优越性还在于，它可应用于各种核函数、
广义函数以及重积分等。
三、瑕积分和广义积分的区别和联系
从定义上来看，瑕积分是对函数在某一点处的积分，是确定性
积分的一类，由于在单点上的发散，需要经过特殊处理，比如说
利用柯西主值、留数等方法。而广义积分则是确界积分的一类，
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是在无限区间范围内的积分，但存在部分发散，需要经过特殊处
理，比如说用柯西收敛准则等方法来求解。
在这里瑕积分和广义积分的区别和联系便显然了。可以看出瑕
积分和广义积分都是积分，然而二者的积分对象不同，前者是函
数在瑕点区间的积分，后者是函数在无限区间内的积分。
四、微积分中瑕积分和广义积分的应用
微积分是现代科学中数学的一个基础，它广泛应用于数学、物
理等各个领域，如曲线求导、面积计算、速度加速度等。这些领
域中会用到瑕积分和广义积分，比如把阳光照射到太阳系内某个
天体表面的力场问题，类似问题一般都是由于引力场的发散产生
的，需要利用瑕积分和广义积分等方法进行计算。又比如，在无
线电领域，会采用广义积分来描述频谱等。
总之，在应用的领域中，微积分中的瑕积分和广义积分在正常
计算中是不可少的。
总结
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微积分中的瑕积分和广义积分，是微积分理论中两个不同的概
念。虽然两者的定义都是对函数在一段区间内的积分，但瑕积分
和广义积分的积分对象不同，前者是函数在瑕点附近的积分，后
者是函数在无限区间内的积分。两者在计算方法和应用领域上也
有所不同。但是在微积分运用中，它们都是一个不可或缺的概念，
将会在各个领域中广泛运用。
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