曲面及其方程公开课一等奖课件省赛课获奖课件.pptx

第三节曲面及其方程

•一、曲面方程的概念

•二、旋转曲面

•三、柱面与二次曲面

•四、小结

一、曲面方程的概念

曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等．

曲面在空间解析几何中被当作是点的几何轨迹．

曲面方程的定义：

如果曲面S与三元方程F(x,y,z)0有下述关系：

（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程；

（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；

那么，方程F(x,y,z)0就叫做曲面S的方程，

而曲面S就叫做方程的图形．

下列给出几例常见的曲面.

例1建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R

的球面方程.

解设M(x,y,z)是球面上任一点，

根据题意有

|MM0|R

222

xx0yy0zz0R

所求方程为2222

xx0yy0zz0R

特殊地：球心在原点时方程为x2y2z2R2

例2求与原点O及M0(2,3,4)的距离之比为1:2的

点的全体所组成的曲面方程.

解设M(x,y,z)是曲面上任一点，

|MO|1

根据题意有,

|MM0|2

x2y2z21

,

x22y32z422

22

224116

所求方程为xy1z.

339

例3已知A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB的

垂直平分面的方程.

解设M(x,y,z)是所求平面上任一点，

根据题意有|MA||MB|,

x12y22z32

x22y12z42,

化简得所求方程2x6y2z70.

例4方程z(x1)2(y2)21

的图形是如何的？z

解根据题意有z1

用平面zc去截图形得圆：

(x1)2(y2)21c(c1)

c

当平面zc上下移动时，

得到一系列圆oy

圆心在(1,2,c)，半径为1cx

半径随c的增大而增大.图形上不封顶，下封底．

以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：

（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．

（讨论旋转曲面）

（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．

（讨论柱面、二次曲面）

二、旋转曲面

定义以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转

曲面的轴．播放

旋转过程中的特性：z

M(0,y,z)

如图设d111

M(x,y,z),M

f(y,z)0

(1)zz1