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抛物线与几何问题的参考答案

【典型例题】

【例1】(浙江杭州)（1）∵平移的图象得到的抛物线的顶点为,

∴抛物线对应的解析式为:.

∵抛物线与x轴有两个交点，∴.

令,得，,

∴)()|,

即,所以当时,存在抛物线使得.--2分

(2)∵,∴,得:,

解得.

在中,

1)当时,由,得,

当时,由,解得,

此时,二次函数解析式为;

当时,由,解得,

此时，二次函数解析式为++.

2)当时,由,将代,可得,,

（也可由代，代得到）

所以二次函数解析式为+–或.

【例2】(江苏常州)（1）∵

∴A(-2,-4)

（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)

四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()

四边形ABP3O为直角梯形时，P1()

四边形ABOP4为直角梯形时，P1()

（3）

由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x

①当点P在第二象限时，x0,

△POB的面积

∵△AOB的面积，

∴

∵，

∴

即∴

∴x的取值范围是

②当点P在第四象限是，x0,

过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′

则四边形POA′A的面积

∵△AA′B的面积

∴

∵，

∴即∴

∴x的取值范围是

BOAPM（第24题）【例3】（浙江丽水）

B

O

A

P

M

（第24题）

∵（2，4），

∴,,

∴所在直线的函数解析式为

（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，

∴（0≤≤2）.

∴顶点的坐标为(,).

∴抛物线函数解析式为.

∴当时，

（0≤≤2）.

∴点的坐标是（2，）.

②∵==，又∵0≤≤2，

∴当时，PB最短

（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.

假设在抛物线上存在点，使.

设点的坐标为（，）.

①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，

∵，，

DOABPMCE∴，∴，

D

O

A

B

P

M

C

E

∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.

∵，∴点落在直线上.

∴=.

解得，即点（2，3）.

∴点与点重合.

∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.

②当点落在直线的上方时，

作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，

∵，∴，∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），

∴直线函数解析式为.

∵，∴点落在直线上.

∴=.

解得：，.

代入，得，.

∴此时抛物线上存在点，

使△与△的面积相等.

综上所述，抛物线上存在点，

使△与△的面积相等.

【例4】（广东省深圳市）（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）

将A、B、C三点的坐标代入得

解得：

所以这个二次函数的表达式为：

（2）存在，F点的坐标为（2，－3）

易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）

代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3）

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R0），则N（R+1，R），

代入抛物线的表达式，解得

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r0），

则N（r+1，－r），

代入抛物线的表达式，解得

∴圆的半径为或．

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为．

设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．

当时，△APG的面积最大

此时P点的坐标为，．

【例5】（山东济南）

(1)设抛物线的解析式为

将A(－1，0)代入:∴

∴抛物线的解析式为，即：

（2）是定值，

∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵PM⊥AE，∴PM∥BE

∴△APM∽△ABE，∴①

同理:②①+②:

（3）∵直线EC为抛物线对称轴，∴EC垂直平分AB

∴EA=EB

∵∠AEB