02 增分微课3　与球有关的切、接问题 【正文】听课.docxVIP

几何体的外接球

角度1常规几何

例1(1)[2022·新高考全国Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1,上下底面的边长分别为33和43,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ()

A.100π B.128π

C.144π D.192π

(2)如图,在三棱锥V-ABC中,VA⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=AV=2,则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为 ()

A.(2-3)∶1 B.(23-3)∶1

C.(3-1)∶3 D.(3-2)∶2

(3)已知四棱锥P-ABCD的体积是363,底面ABCD是正方形,△PAB是等边三角形,平面PAB⊥平面ABCD,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为 ()

A.89π B.88π

C.84π D.81π

总结反思

到各个顶点距离相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据球心到其他顶点的距离也等于半径,列关系式求解即可.要注意补形法、截面法等方法的运用.

变式题(1)在四面体A-BCD中,AB=CD=7,AD=BC=29,AC=BD=27,则四面体A-BCD外接球的表面积是 ()

A.24π B.32π

C.36π D.42π

(2)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC满足AB=2,∠ACB=90°,PA为球O的直径且PA=4,则点P到底面ABC的距离为 ()

A.2 B.22

C.3 D.23

角度2复杂几何体

例2[2023·金丽衢十二校联考]将两个全等的正三棱锥底面重合得到一个六面体,若该六面体存在外接球,且正三棱锥的体积为1,则六面体外接球的体积为.?

变式题两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为32π3,两个圆锥的高之比为1∶3,则两个圆锥的体积之和为 (

A.3π B.4π

C.9π D.12π

几何体的内切球

例3已知正三棱锥的高为1,底面边长为23,则该三棱锥的内切球的半径为 ()

A.52 B.3-

C.12 D.2-

总结反思

处理与内切球相关的问题时需注意:(1)找准切点及球心;(2)体积分割是求内切球半径的常用方法.

变式题在四面体ABCD中,BA,BC,BD两两垂直,BA=1,BC=BD=2,则四面体ABCD内切球的半径为.?

最值问题

例4(1)[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上,若该球的体积为36π,且3≤l≤33,则该正四棱锥体积的取值范围是 ()

A.18,814

C.274,643

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(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上,若正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为9,则球O的表面积的最小值是.?

总结反思

与球有关的切、接问题中的最值问题是立体几何的一个重点、难点,常见的求解方法主要有以下三种.

(1)转化为函数最值问题.通过引入长度参数或角度参数,建立关于这些参变量的函数关系,进而转化为函数的最值问题来解决.

(2)转化为平面几何问题.根据题目的特征,寻找或确定一个数量关系比较集中的平面,将题目中的其他条件逐步向该平面转移,然后利用平面几何方法或三角函数来解决.

(3)利用不等式求解.可通过引入多个变量建立数学模型,然后利用不等式求其最值.

变式题(1)已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD的周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱锥D-ABC外接球的表面积等于 ()

A.8π B.16π

C.482 D.不确定的实数

(2)[2023·湖南名校联考]定义:与圆锥的底面和各母线均相切的球,称为圆锥的内切球,此圆锥称为球的外切圆锥.已知某圆锥的内切球半径等于1,则该圆锥体积的最小值为 ()

A.5π9 B.3π C.8π3 D