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2022-2023学年湘教版必修第二册二平面与平面垂直的性质课时作业
一.单项选择()
1.,为不重合的直线,,,为互不相同的平面,下列说法错误的是()
A.若,则经过,的平面存在且唯一
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,,则
2.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看,蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成,中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成,菱形的一个角度是,这样的设计含有深刻的数学原理.我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》.用数学的眼光去看蜂巢的结构,如图,在正六棱柱的三个顶点处分别用平面,平面,平面截掉三个相等的三棱锥,,,平面,平面,平面交于点,就形成了蜂巢的结构.
如图,设平面与正六边形底面所成的二面角的大小为,则________.(用含的代数式表示)
3.如图,在中,,将绕边翻转至,使平面平面,是的中点,设是线段的动点,则当与所成角取得最小值时,线段等于()
A. B. C. D.
4.设平面α⊥平面β,α∩β=l,点P∈α,且P?l,则下列命题中真命题的是()
A.过点P且垂直于α的直线平行于l
B.过点P且垂直于α的直线平行于β
C.过点P且垂直于α的平面平行于l
D.过点P且垂直于α的平面平行于β
5.如图,在矩形中,点为线段上一动点(不包括端点),将沿翻折成,使得平面平面.给出下列两个结论:
①在平面内过点有且只有一条直线与平面平行;
②在线段上存在点使得.
则下列判断正确的是()
A.①正确,②错误 B.①错误,②正确 C.①,②都正确 D.①,②都错误
二.填空题()
6.如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,M,N分别为棱AB和CD的中点,一个平面分别与棱BC,BD,AD,AC交于E,F,G,H,且MN⊥平面EFGH.给出下列六个结论:①AC⊥BD,②AB//平面EFGH,③平面ABC⊥平面EFGH,④四边形EFGH的周长为定值;⑤四边形EFGH的面积有最大值;⑥四边形EFGH一定是矩形,其中,所有正确结论的序号是_____.
7.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M是AD的中点,动点P在底面正方形ABCD内(不包括边界),若B1P//平面A1BM,则C1P长度的取值范围是____.
8.如图,在四棱锥中,底面是矩形,侧面底面,是边长为的等边三角形,点分别为侧棱上的动点,记,则的最小值的取值范围是_________.
9.在三棱锥中,若平面平面,且.则直线与平面所成角的大小为_____________.
三.解答题()
10.如图,在三棱锥中,,底面.
(1)求证:平面平面;
(2)若,,是的中点,求与平面所成角的正切值.
11.如图,正三棱柱的高为,底面边长为2,点分别为上的点.
(Ⅰ)在棱上是否存在点使得平面平面?请说明理由.
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求几何体的体积.
12.如图,三棱柱各棱长均为2,.
(1)求证:;
(2)若面面,求四边形的面积.
参考答案与试题解析
1.【答案】D
【解析】对于A,由公理三及其推论得经过,的平面存在且唯一;对于B,由面面平行的性质定理得;对于C,由线面垂直的判定定理得;对于D,与相交或平行.
详解:解:由,为不重合的直线,,,为互不相同的平面,知:
对于A,若,则由公理三及其推论得经过,的平面存在且唯一,故A正确;
对于B,若,,,则由面面平行的性质定理得,故B正确;
对于C,若,,,则由线面垂直的判定定理得,故C正确;
对于D,若,,,,则与相交或平行,故D错误.
故选:D.
【点睛】
本题考查空间直线.平面间的位置关系贩判断,考查平面的基本性质,旨在考查学生空间想象能力,逻辑推理能力.
二.填空题
2.【答案】
【解析】先证明一个结论:如图,在平面内的射影为,的平面角为(),则.
证明:如图,在平面内作,垂足为,连接,因为在平面内的射影为,故,因为,故,因为,故平面.因为平面,故,所以为二面角的平面角,所以.在直角三角形中,.由题设中的第二图可得:.设正六边形的边长为,则,如图,在中,取的中点为,连接,则,且,,故,
故,故.
故答案为:.
3.【答案】C
【解析】由题意可将三棱锥放在棱长为2的正方体中如图所示,
延长交正方体的棱于点,连接,则均为其所在正方体棱上的中点,
过点作的垂线,垂足为点,则平,所以,
又因为,,所以平面,
则为在平面内的投影,
则当时,与所成的角取得最小值,
此时由得,则,
在中,易得,所以.
故选:C.
4.【答案】B
【解析】对于A:过点P且垂直于α的直线垂直于α内的所有直线,则垂直于l,故A错;
对于B:在β内作一直线l1垂直于l,由平面α⊥平面β,α∩β=l,可得l1⊥α,
从而有过点P且垂直于α的直线平行于l1,进而平行于
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