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弹性力学基础：胡克定律：二维胡克定律及其应用

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，将物体视为由无数连续分布的微

小质点组成，这些质点之间通过内力相互作用。弹性力学的核心在于描述和预

测材料在不同载荷下的响应，包括变形、位移、应变和应力等。

1.1.1材料的弹性与塑性

材料的弹性是指材料在外力作用下发生变形，当外力去除后，材料能够恢

复到原始形状的性质。这种变形是可逆的，材料的应力与应变之间存在线性关

系，这一关系通常由胡克定律描述。

塑性变形则不同，它是指材料在外力作用下发生永久变形，即使外力去除，

材料也无法完全恢复到原始形状。塑性变形通常发生在超过材料弹性极限的应

力水平下，此时应力与应变之间的关系变得非线性。

1.2胡克定律

胡克定律是弹性力学中的一个基本定律，由英国科学家罗伯特·胡克在

1678年提出。该定律指出，在弹性范围内，材料的应力与应变成正比，比例常

数称为弹性模量。在三维空间中，胡克定律可以扩展为更复杂的表达式，以描

述材料在不同方向上的弹性行为。

1.2.1维胡克定律

在二维情况下，胡克定律可以简化为描述材料在平面内的应力应变关系。

对于各向同性材料，二维胡克定律可以表示为：

=

=

=

其中，和分别是x和y方向的正应力，和是x和y方向的正应

变，是xy方向的剪应力，是xy方向的剪应变，是杨氏模量，是剪切

模量。

1.2.2胡克定律的应用

胡克定律在工程设计和材料科学中有着广泛的应用。例如，在设计桥梁、

1

建筑物、机械零件时，工程师需要计算材料在不同载荷下的应力和应变，以确

保结构的安全性和稳定性。胡克定律提供了计算这些参数的基础。

1.2.2.1示例：计算梁的弯曲应力

ℎ

假设我们有一根长为，宽为，高为的矩形截面梁，受到垂直于梁的力

的作用。我们可以使用胡克定律来计算梁的弯曲应力。

首先，我们需要计算梁的弯矩：

=×

2

然后，根据梁的截面性质，计算最大弯曲应力：

×

=

其中，是梁截面到中性轴的最大距离，是截面对中性轴的惯性矩。对于

ℎ3

==

矩形截面，，。

212

最后，使用胡克定律计算应变：