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弹性力学基础：兼容方程：能量原理在弹性力学中的应用

1弹性力学基础：兼容方程：能量原理在弹性力学中的应用

1.1绪论

1.1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。在弹性力学中，我们关注的是材料在弹性范围内，即材料的变形与

外力成线性关系的区域。弹性体的变形可以通过位移、应变和应力来描述，其

中位移是点的移动，应变是位移的局部变化率，而应力则是单位面积上的内力。

1.1.2能量原理的引入

能量原理在弹性力学中扮演着重要角色，它提供了一种从能量的角度来分

析和求解弹性问题的方法。在弹性力学中，有两种主要的能量形式：应变能和

外力做功。应变能是弹性体在变形过程中储存的能量，而外力做功则是外力在

位移过程中所做的功。能量原理的核心是，当弹性体达到平衡状态时，其总势

能（应变能加上外力做功的负值）达到极小值。

1.2弹性力学中的能量原理

1.2.1虚功原理

虚功原理是能量原理的基础，它指出，对于任何静力平衡的系统，所有外

力对任意虚位移所做的虚功之和等于零。虚位移是指在约束条件下，系统可能

发生的无限小位移，它与实际位移无关，但必须满足系统的约束条件。

1.2.2应变能

应变能（）是弹性体在变形过程中储存的能量，可以表示为应力（和

应变（的乘积积分：

1​

=:

2

其中，是弹性体的体积，表示应力和应变的内积。

1.2.3能量变分原理

能量变分原理是求解弹性问题的一种有效方法，它基于能量原理，通过最

1

小化总势能来找到系统的平衡状态。总势能（）定义为应变能（）减去外力

做功（）：

=−

在平衡状态下，总势能对位移的变分（）为零：

=−=0

1.2.4兼容方程

兼容方程描述了在弹性体内部，位移必须满足的连续性和光滑性条件。在

弹性力学中，位移场必须是连续的，且在连续点上应变是位移的导数。兼容方

程确保了在没有外力作用的区域，位移场的连续性和光滑性。

1.3能量原理的应用实例

1.3.1示例：一维弹性杆的应变能计算

假设有一根长度为，截面积为，弹性模量为的弹性杆，两端分别受到

拉力的作用。我们可以通过能量原理来计算杆的应变能。

1.3.1.1数据样例

=1.0m

=0.01m^2

=200×109Pa

=1000N

1.3.1.2计算过程

应变能可以通过以下公式计算：

1

=

2

其中，是杆的伸长量，可以通过胡克定律计算：

=

将数据代入公式，计算应变能：

#数据定义

L=1.0#杆的长度，单位：m

A=0.01#杆的截面积，单位：m^2