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弹性力学基础：内力计算：内力的基本类型与计算

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、无间

隙的介质，其内部的物理量（如应力、应变）可以连续变化。弹性力学的核心

是解决弹性体的平衡问题，即在给定的外力和边界条件下，求解弹性体内部的

应力和应变分布。

1.1.1弹性体

弹性体是指在外力作用下能够产生变形，当外力去除后，能够恢复到原来

形状的物体。在弹性力学中，我们通常假设弹性体满足以下条件：

小变形假设：弹性体的变形相对于其原始尺寸很小。

线性弹性假设：应力和应变成正比关系，遵循胡克定律。

各向同性假设：材料的弹性性质在所有方向上相同。

均匀性假设：材料的弹性性质在物体内部处处相同。

1.1.2应力和应变

应力（Stress）：单位面积上的内力，通常用符号σ表示。在弹性

力学中，我们关注的是正应力（σ_n）和切应力（τ）。

应变（Strain）：物体在外力作用下变形的程度，通常用符号ε表

示。应变分为线应变（ε_l）和剪应变（γ）。

1.2材料的弹性性质

材料的弹性性质描述了材料在外力作用下如何变形以及在力去除后如何恢

复。这些性质通常通过材料的弹性模量来量化。

1.2.1弹性模量

杨氏模量（Young’sModulus,E）：描述材料在拉伸或压缩时的弹

性性质，定义为正应力与线应变的比值。

剪切模量（ShearModulus,G）：描述材料在剪切力作用下的弹性

性质，定义为切应力与剪应变的比值。

泊松比（Poisson’sRatio,ν）：描述材料在横向和纵向变形之间

的关系，定义为横向应变与纵向应变的绝对值比。

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1.2.2胡克定律

胡克定律是弹性力学中的基本定律，它描述了在弹性范围内，应力与应变

之间的线性关系。对于一维情况，胡克定律可以表示为：

=

其中，σ是应力，E是杨氏模量，ε是应变。

1.2.3应力应变关系

在三维情况下，应力和应变之间的关系更为复杂，通常用广义胡克定律来

描述。对于各向同性材料，应力和应变之间的关系可以表示为：

=++

=++

=++

=

=

=

这里，σ_x,σ_y,σ_z是三个主应力方向上的正应力，ε_x,ε_y,ε_z是对

应的线应变，τ_{xy},τ_{yz},τ_{zx}是剪应力，γ_{xy},γ_{yz},γ_{zx}是对应的剪

应变。

1.2.4应力张量和应变张量

在弹性力学中，应力和应变通常用张量来表示，以全面描述物体在各个方

向上的应力和应变状态。应力张量和应变张量都是二阶张量，可以表示为3x3

的矩阵。

1.2.4.1应力张量