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弹性力学基础：平衡方程：拉梅方程与扭转问题

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、无间

隙的介质，其性质在任何点上都是均匀的。弹性力学的核心在于理解和预测材

料在不同载荷下的行为，这对于工程设计和材料科学至关重要。

1.1.1弹性体

弹性体是指在外力作用下能够发生变形，当外力去除后，能够恢复到原来

形状的物体。这种恢复原状的能力是由于材料内部的弹性力，它试图使物体回

到其自然状态。

1.1.2应力与应变

应力（Stress）：单位面积上的内力，通常用符号σ表示。它描述

了材料内部各部分之间的相互作用力。应力可以分为正应力（σ）和切

应力（τ）。

应变（Strain）：物体在外力作用下发生的变形程度，通常用符号

ε表示。应变分为线应变（ε）和剪应变（γ）。

1.1.3弹性模量

弹性模量是描述材料弹性性质的重要参数，包括杨氏模量（E）、剪切模量

（G）和泊松比（ν）。这些参数在弹性力学中用于建立应力与应变之间的关系，

即胡克定律。

1.2弹性体的变形与应力

在弹性力学中，物体的变形和应力分布可以通过一系列的方程来描述，这

些方程基于平衡条件、几何关系和物理定律。

1.2.1平衡方程

平衡方程描述了在静力学平衡条件下，物体内部应力的分布。对于三维弹

性体，平衡方程可以表示为：

1

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

其中，σ_x、σ_y、σ_z是正应力，τ_{xy}、τ_{yz}、τ_{xz}是切应力，

f_x、f_y、f_z是单位体积的外力。

1.2.2几何方程

几何方程描述了物体变形与位移之间的关系。在小变形假设下，线应变可

以表示为位移的偏导数：

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

其中，u、v、w是物体在x、y、z方向上的位移。

1.2.3物理方程

物理方程，即胡克定律，描述了应力与应变之间的线性关系：