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弹性力学基础：位移函数：位移函数的数学基础

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的假设，将固体视为由无数连续分布的质点组

成的介质，这些质点之间通过内部力相互作用。弹性力学的核心在于理解和预

测材料在不同载荷下的行为，包括线性弹性材料和非线性弹性材料。

1.1.1弹性体

弹性体是指在外力作用下能够发生变形，当外力去除后能够恢复原状的物

体。在弹性力学中，我们通常假设弹性体是均匀的、各向同性的，并且在小变

形情况下，其行为可以用线性关系描述。

1.1.2应力与应变

应力（Stress）：应力是单位面积上的内力，通常用张量表示，分

为正应力（σ）和剪应力（τ）。正应力是垂直于截面的应力，剪应力是

平行于截面的应力。

应变（Strain）：应变是物体变形的度量，也是用张量表示。应变

分为线应变（ε）和剪应变（γ）。线应变描述的是物体长度的变化，剪

应变描述的是物体形状的改变。

1.2弹性体的应力与应变

在弹性力学中，应力与应变之间的关系由材料的本构方程决定。对于线性

弹性材料，这种关系遵循胡克定律（Hooke’sLaw），即应力与应变成正比，比

例常数为弹性模量。

1.2.1胡克定律

胡克定律可以表示为：

=

其中，-是正应力，-是弹性模量，-是线应变。

对于三维情况，胡克定律可以扩展为应力应变关系的矩阵形式，涉及到弹

性体的三个主应力和三个主应变。

1

1.2.2应力应变关系的矩阵形式

在三维情况下，应力应变关系可以表示为：

−−000

−−000

−−000

=

00000

00000

00000

其中，-是弹性模量，-是泊松比，-是剪切模量。

1.2.3应力应变关系的计算示例

假设我们有一个立方体弹性体，其弹性模量=200 泊松比=0.3。

=100 

当它受到方向的正应力时，我们可以计算出方向的线应变。

6

100×10

===0.0005

200×109

同时，由于泊松效应，和方向的线应变和也会发生变化，计算公式

为：

==−=−0.3×0.0005=−0