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目的：进一步了解单调函数的性质，熟悉有界变差函数的定义，掌握其性质。
重点与难点：单调函数的性质，有界变差函数的定义及其性质。;第四节有界变差函数;第四节有界变差函数;证明：不妨设，否那么可令，对讨论就行了。记
，
那么都是单调增加函数，故去掉一个零测集E后，都存在。;因及
单调增加，故其导数均非负，从而当
时，。
由此得，级数
几乎处处收敛。往证
。;由于，对任意自然数k，可取，使得
，
但也是单调增加函数，且
，所以,
;这说明也是由单调增加函数列构成的收敛级数，将上面关于的结论用到上，得;进而，级数的通项趋于0，即
，
也即
。
证毕。;证明：设是上的单调增加函数，注意对任意，
，
由推论1立得证明。;第四节有界变差函数;定理5设f是上的单调增加有限函数，那么是上的Lebesgue可积函数，且
。;证明：将f扩充到上，对任意
，令，并令
，
它是Riemann可积函数，而且。;注意到;由Fatou引理得;应该注意到定理5与牛顿-莱布尼兹公式的差异，此处严格不等式样可能成立的，例如，假设，那么
。于是，但
，，故，所以。;另外，还应注意到，由定理4，上的单调函数f几乎处处有有限导数，因此定理5中导数不存在的点x处可规定为任意值???这就是说，在一个零测集上可以任意改变函数值不会对的积分产生影响。;从我们还看到另一个事实，一个非常值的函数可以有几乎处处等于0的导数，这样的函数称为奇异函数，即下面的
定义6设f是上的有限函数，假设在上，且f不恒为常数，那么称f为上的奇异函数。;三．有界变差函数的定义
问题4：[a,b]上单调函数除了跳跃度总和不超过，其任一分划所对应分点的函数值之差的总和是否必有限？;第四节有界变差函数;定义7设是上的有限函数，对的任一分划
，
记
称为f关于分划的变差。;第四节有界
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