弹性力学基础：位移函数与位移边界条件.pdf

弹性力学基础：位移函数与位移边界条件

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。弹性体是指在外力作用下能够产生变形，当外力去除后，能够恢复

到原来形状的物体。在弹性力学中，我们关注的是物体的弹性行为，即在一定

范围内，物体的变形与作用力成线性关系。

1.1.1弹性体的分类

一维弹性体：如杆、梁等，主要研究轴向变形和应力。

二维弹性体：如板、壳等，主要研究平面内的变形和应力。

三维弹性体：如块体、结构等，研究空间内的变形和应力。

1.2弹性体的应力与应变

1.2.1应力

应力是单位面积上的内力，分为正应力和切应力。正应力是垂直于截面的

应力，切应力是平行于截面的应力。在弹性力学中，我们通常使用应力张量来

描述三维空间中任意点的应力状态。

1.2.2应变

应变是物体变形的度量，分为线应变和切应变。线应变描述的是物体长度

的变化，切应变描述的是物体角度的变化。同样，应变张量用于描述三维空间

中任意点的应变状态。

1.2.3应力应变关系

在弹性力学中，应力和应变之间存在一定的关系，这种关系通常由材料的

弹性模量和泊松比决定。对于线弹性材料，应力和应变之间遵循胡克定律，即

应力与应变成正比。

1.3弹性力学中的平衡方程

平衡方程描述了弹性体内部的力平衡条件，是弹性力学的基本方程之一。

1

在三维空间中，平衡方程可以表示为：

∂∂∂

+++=

∂∂∂

∂∂∂

+++=

∂∂∂

∂∂∂

+++=

∂∂∂

其中，,,是正应力，,,,,,是切应力，,,是

单位体积的体力，是材料的密度，,,是位移的加速度。

1.3.1平衡方程的推导

平衡方程的推导基于牛顿第二定律，即物体的加速度与作用在物体上的合

外力成正比。在弹性体中，作用在物体上的力包括外力和内力，内力又可以分

解为应力。因此，平衡方程实际上是描述了在任意微小体积内，应力产生的内

力与外力之间的平衡关系。

1.3.2平衡方程的应用

平衡方程在解决弹性力学问题时起着关键作用。通过与几何方程和物理方

程联立，可以求解出弹性体在给定边界条件下的位移、应力和应变分布。例如，

在求解梁的弯曲问题时，平衡方程可以简化为一维形式，结合梁的几何和物理

特性，可以求解出梁的弯曲位移和应力分布。

1.3.3示例：使用Python求解一维梁的弯曲问题

假设我们有一根长度为1米的梁，两端固定，中间受到100N的集中力作

用。梁的截面为矩形，宽度为0.1米，高度为0.05米。梁的弹性模量为200×

109Pa，泊松比为0.3