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弹性力学基础：位移函数与应力解的转换

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。弹性体是指在外力作用下能够产生变形，当外力去除后能够恢复原

状的物体。在弹性力学中，我们关注的是物体的内部应力和应变，以及它们与

外力之间的关系。

1.1.1弹性体的分类

线弹性体：应力与应变成线性关系。

非线性弹性体：应力与应变关系非线性，但去除外力后仍能恢复

原状。

1.1.2应力与应变

应力（Stress）：单位面积上的内力，通常用σ表示。

应变（Strain）：物体在外力作用下产生的变形程度，通常用ε表

示。

1.2弹性体的平衡方程

在弹性力学中，平衡方程描述了弹性体内部的力平衡条件。对于三维弹性

体，平衡方程可以表示为：

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

其中，σ_x,σ_y,σ_z是正应力，τ_{xy},τ_{xz},τ_{yz}是剪应力，f_x,f_y,

f_z是单位体积的外力。

1.3位移边界条件与应力边界条件

在解决弹性力学问题时，边界条件是确定解的关键。边界条件可以分为位

移边界条件和应力边界条件。

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1.3.1位移边界条件

位移边界条件是指在弹性体的边界上，位移或其导数（如斜率）是已知的。

例如，如果一个弹性体的一端被固定，那么在这一端的位移将为零。

1.3.2应力边界条件

应力边界条件是指在弹性体的边界上，应力或其导数（如力的分布）是已

知的。例如，如果一个弹性体的一端受到均匀的压力，那么在这一端的正应力

将为已知值。

1.3.3转换方法

在某些情况下，我们可能需要从位移解转换到应力解，或者从应力解转换

到位移解。这种转换通常通过弹性力学的基本方程和边界条件来实现。

1.3.3.1从位移解转换到应力解

给定位移场u(x,y,z)，v(x,y,z)，w(x,y,z)，我们可以使用应变-位移关系和胡

克定律来计算应力场。例如，在线弹性体中，正应力σ_x可以通过以下公式计

算：

1−

∂∂∂

=++

∂2∂∂

其中，E是弹性模量，ν是泊松比。

1.3.3.2从应力解转换到位移解

给定应力场σ_x,σ_y,σ_z,τ_{xy},τ_{xz},τ_{yz}，我们可以通过平衡方程和

相容方程来求解位移场。这通常涉及到求解偏微分方程组，可能需要数值方法，

如有限元法。

1.3.4示例：从位移解转换到应力解

假设我们有一个简单的二维弹性体，其位移场由以下函数给出：

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