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弹性力学基础：位移函数在有限元分析中的应用

1弹性力学基础概念

1.1位移、应变与应力的关系

在弹性力学中，位移、应变和应力是三个基本概念，它们之间存在着密切

的联系。位移描述了物体中各点相对于其原始位置的移动；应变是位移的局部

变化率，反映了物体的形变程度；应力则是物体内部各点所受的力，它与应变

的关系由材料的性质决定。

1.1.1位移

位移是一个向量场，其中是物体中某点的原始位置，是该点相对于

原始位置的位移。在三维空间中，位移可以表示为：

=,,

1.1.2应变

应变位移的局部变化率，可以分为线应变和剪切应变。线应变描述了物

体在某一方向上的伸长或缩短，剪切应变描述了物体的剪切变形。在小变形假

设下，应变张量可以由位移导出：

1∂∂

=+

2∂∂

其中，=

1.1.3应力

应力是物体内部各点所受的力，它与应变的关系由材料的性质决定。在弹

性材料中，应力与应变之间存在线性关系，这可以通过胡克定律来描述。

1.2胡克定律与材料属性

胡克定律是弹性力学中的一个基本定律，它描述了在弹性范围内，应力与

应变之间的线性关系。对于各向同性材料，胡克定律可以表示为：

=

其中，是弹性常数，对于各向同性材料，可以简化为：

=+2

这里，和别是拉梅常数和剪切模量，是克罗内克δ函数。

1

1.2.1材料属性

在弹性力学中，材料的属性通常由弹性模量和泊松比来描述。弹性模量

和剪切模量之间的关系为：

=

21+

拉梅常数和弹性模量、泊松比之间的关系为：

=

−

1+12

1.2.2示例

假设我们有一个各向同性材料的立方体，其弹性模量=200 泊松比

=0.3=100 

。如果在方向上施加一个均匀的拉伸应力，我们可以计算

出方向上的线应变：