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弹性力学基础：应力函数与平衡方程详解

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的假设，将固体视为由无限多个微小质点组成

的连续介质，每个质点都可以自由移动并相互作用。弹性力学的核心在于建立

和求解描述弹性体行为的数学模型，这些模型通常包括平衡方程、几何方程和

物理方程。

1.1.1弹性体

弹性体是指在外力作用下能够发生变形，当外力去除后能够恢复原状的物

体。在弹性力学中，弹性体的性质由其弹性模量（如杨氏模量、剪切模量和泊

松比）来描述。

1.1.2应力

应力是单位面积上的内力，它描述了弹性体内部各部分之间的相互作用。

应力可以分为正应力（σ）和剪应力（τ）。正应力是垂直于截面的应力，而剪

应力是平行于截面的应力。在三维空间中，应力可以用一个3x3的对称矩阵来

表示，称为应力张量。

1.1.3应变

应变是物体变形的度量，它描述了物体在外力作用下形状和尺寸的变化。

应变可以分为线应变（ε）和剪应变（γ）。线应变是长度变化与原长的比值，

而剪应变是角度变化的度量。应变同样可以用一个3x3的对称矩阵来表示，称

为应变张量。

1.2弹性体的变形与应力

在弹性力学中，弹性体的变形与应力之间的关系由胡克定律描述。胡克定

律指出，在弹性范围内，应力与应变成正比，比例常数为弹性模量。对于各向

同性的弹性体，胡克定律可以表示为：

=

其中，是应力张量，是应变张量，是弹性常数，对于各向同性材

料，可以简化为：

=2+

1

这里，是剪切模量，是拉梅常数，是克罗内克δ函数。

1.2.1平衡方程

平衡方程描述了弹性体在静力平衡状态下的力学条件。在弹性力学中，平

衡方程通常表示为：

∂

+=0

∂

其中，是应力张量，是坐标，是单位体积的体力（如重力）。这个方

程表明，弹性体内部的应力梯度和体力的和必须为零，以满足静力平衡条件。

1.2.2几何方程

几何方程描述了应变与位移之间的关系。在小变形情况下，几何方程可以

简化为：

1∂∂

=+

2∂∂

这里，是位移分量，是坐标。这个方程表明，应变是位移梯度的函数。

1.2.3物理方程

物理方程，即胡克定律，描述了应力与应变之间的关系。它是弹性力学中

连接力学和材料性质的桥