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弹性力学数值方法：混合元法：有限元法基础

1弹性力学数值方法：混合元法：有限元法基础

1.1绪论

1.1.1弹性力学概述

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，利用微分方程来描述材料的力学

行为。在工程应用中，弹性力学的求解对于结构设计、材料选择和安全性评估

至关重要。

1.1.2数值方法在弹性力学中的应用

数值方法，尤其是有限元法(FEM)，在解决弹性力学问题中扮演着核心角色。

有限元法通过将连续体离散成有限数量的单元，将偏微分方程转化为代数方程

组，从而实现复杂结构的应力和应变分析。这种方法特别适用于处理非线性、

不规则形状和边界条件复杂的问题。

1.1.3混合元法简介

混合元法是有限元法的一种变体，它在求解过程中同时考虑位移和应力作

为未知量。这种方法在处理某些特定问题时，如近似满足平衡方程和应力边界

条件，可以提供更准确的解。混合元法通过引入额外的未知量，如拉格朗日乘

子，来确保位移和应力的连续性和一致性。

1.2弹性力学基础

1.2.1弹性力学基本方程

弹性力学的基本方程包括平衡方程、本构方程和几何方程。平衡方程描述

了力的平衡条件；本构方程描述了材料的应力应变关系；几何方程则将应变与

位移联系起来。这些方程构成了求解弹性问题的理论基础。

1.2.2应力应变关系

在弹性力学中，应力应变关系由胡克定律描述，即应力与应变成正比。对

于各向同性材料，胡克定律可以表示为：

=

1

其中，是应力，是应变，是弹性模量。在三维情况下，应力应变关系

更为复杂，涉及多个弹性常数。

1.3有限元法基础

1.3.1有限元法原理

有限元法的基本思想是将连续体离散化，即将结构分解为有限数量的单元，

每个单元用一组节点来表示。在每个单元内部，位移被假设为节点位移的插值

函数。通过在每个单元上应用平衡方程，可以得到整个结构的平衡条件，进而

求解节点位移。

1.3.2有限元法求解流程

1.结构离散化：将结构分解为单元和节点。

2.选择位移模式：定义单元内部位移的插值函数。

3.建立单元方程：在每个单元上应用平衡方程，得到单元的刚度矩

阵和载荷向量。

4.组装整体方程：将所有单元的方程组装成整体结构的方程。

5.施加边界条件：根据问题的边界条件，修改整体方程。

6.求解未知量：解整体方程，得到节点位移。

7.后处理：计算应力、应变等其他物理量，进行结果分析。

1.4混合元法原理

1.4.1混合元法的动机

混合元法的引入主要是为了解决标准位移元法在某些情况下可能遇到的锁

定位移和应力不连续的问题。通过同时求解位移和应力，混合元法可以提供更

准确的应力分布，尤其是在处理近似满足平衡条件的低阶单元时。

1.4.2混合元法的实现

混合元法的实现通常涉及引入拉格朗日乘子来确保位移和应力的连续性。

在每个单元内部，位移和应力被独立地插值。然后，通过最小化能量泛函，求

解位移和应力的未知量。这种方法在理论上可以提供更精确的解，但在实际应

用中，选择合适的位移和应力模式以及拉格朗日乘子的计算是关键。

1.4.3混合元法的优缺点

优点：-可以更准确地预测应力分布，尤其是在低阶单元中。-对于某些问

题，如近似满足平衡条件的单元，混合元法可以提供更好的收敛性。

缺点：-计算成本较高，因为需要求解更多的未知量。-选择合适的位移和

2

应力模式以及拉格朗日乘子的计算较为复杂。

1.5混合元法示例

假设我们有一个简单的二维弹性问题，需要使用混合元法求解。我们将使

用Python和SciPy库来实现这一过程。

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspso