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弹性力学数值方法：解析法：弹性力学中的复变函数方法

1弹性力学数值方法：解析法：弹性力学中的复变函数方法

1.1绪论

1.1.1复变函数方法在弹性力学中的应用背景

在弹性力学领域，复变函数方法提供了一种强大的工具，用于解决平面弹

性问题。这种方法的核心在于将弹性力学中的偏微分方程转换为复变函数理论

中的柯西-黎曼方程，从而简化问题的求解过程。复变函数方法尤其适用于处理

边界条件复杂、形状规则的弹性体问题，如裂纹、孔洞、尖角等，这些在工程

设计和材料科学中是常见的挑战。

1.1.2复变函数基础理论简介

复变函数理论是数学的一个分支，研究复数域上的函数。在弹性力学中，

我们关注的是复变函数的解析性质，即函数在复平面上的可微性。柯西-黎曼方

程是复变函数理论中的基石，它定义了函数在复平面上可微的条件。对于函数

+=+

=，其中，和是实函数，柯西-黎曼方程表述为：

∂∂

1.=

∂∂

∂∂

2.=−

∂∂

满足这些方程的函数称为解析函数。在弹性力学中，应力和位移可以表示

为复变函数的实部和虚部，从而利用复变函数的性质来求解弹性问题。

1.2复变函数方法的原理

复变函数方法在弹性力学中的应用基于以下原理：

应力函数表示：在平面弹性问题中，应力分量可以表示为两个复

变函数的实部和虚部。

位移表示：位移分量同样可以表示为复变函数的形式，通过应力-

位移关系，可以将应力函数转换为位移函数。

柯西-黎曼方程的应用：通过满足柯西-黎曼方程，可以确保应力

和位移的连续性和协调性，从而满足弹性力学的基本方程。

1.2.1应力函数的构造

在平面弹性问题中，应力函数可以表示为：

=+

1

其中，是向的正应力，是方向的剪应力。通过构造满足柯西-

黎曼方程的，可以求解出应力分量。

1.2.2位移函数的构造

位移函数可以表示为：

=+

,,

其中，和分别是和方向的位移分量。利用应力-位移关系，

可以从应力函数推导出位移函数。

1.3复变函数方法的应用实例

1.3.1实例：无限大平板中的中心裂纹问题

2

考虑无限大平板中存在一条中心裂纹，宽度为，裂纹两侧的应力分布需

要求解。这个问题可以通过构造复变函数来解决。

1.3.1.1应力函数的构造

应力函数可以表示为：

=

22

−

其中，是裂纹尖端的应力强度因子，=+。

1.3.1.2位移函数