弹性力学数值方法：有限元法(FEM)：接触问题有限元分析技术教程.pdfVIP

弹性力学数值方法：有限元法(FEM)：接触问题有限元分析

技术教程

1弹性力学数值方法：有限元法(FEM)：接触问题有限元分

析

1.1绪论

1.1.1有限元法在弹性力学中的应用

有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一种广泛应用于工程分析和科

学计算的数值方法，尤其在解决弹性力学问题中表现出色。它将复杂的连续体

结构分解为有限数量的简单单元，通过在每个单元上应用基本的物理定律，如

牛顿第二定律或能量守恒定律，来近似求解整个结构的响应。这种方法能够处

理非线性材料特性、复杂的几何形状和边界条件，使其成为分析接触问题的理

想工具。

1.1.2接触问题的概述与重要性

接触问题是指两个或多个物体在接触面上相互作用的问题。在工程设计和

分析中，接触问题普遍存在，如机械零件的装配、摩擦和磨损分析、复合材料

的层间接触等。接触问题的复杂性在于接触力的非线性特性，以及接触状态的

不确定性（接触、分离、滑动）。有限元法通过引入接触算法，能够准确模拟这

些复杂的接触行为，对于预测结构的性能、优化设计和避免故障具有重要意义。

1.2有限元法基础

1.2.1离散化过程

在有限元分析中，首先需要将连续的结构离散化为有限数量的单元。每个

单元由节点连接，单元内部的位移和应力可以通过节点的位移来近似表示。离

散化过程包括：

1.几何离散化：将结构划分为多个小的几何单元。

2.位移离散化：在每个单元内，位移被假设为节点位移的函数。

3.方程离散化：将连续的微分方程转换为离散的代数方程组。

1.2.2节点和单元

节点：结构的离散化点，用于定义位移和力的边界条件。

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单元：由节点连接的几何体，可以是线、面或体。单元类型包括

但不限于：

o线单元：用于模拟一维结构，如梁和杆。

o面单元：用于模拟二维结构，如板和壳。

o体单元：用于模拟三维结构，如实体。

1.2.3有限元方程

有限元分析的核心是求解结构的平衡方程，通常表示为：

{={

其中，是刚度矩阵，{}是节点位移向量，{}是节点力向量。对于接触

问题，刚度矩阵和力向量需要考虑接触力的影响。

1.3接触问题有限元分析

1.3.1接触算法

接触算法是有限元分析中处理接触问题的关键。常见的接触算法包括：

罚函数法：通过在接触面上引入一个大的弹性模量（罚因子）来

模拟接触力，当两个表面接触时，罚函数会产生一个阻止穿透的力。

拉格朗日乘子法：使用拉格朗日乘子来强制执行接触约束，这种

方法可以更准确地控制接触状态，但计算成本较高。

增广拉格朗日法：结合了罚函数法和拉格朗日乘子法的优点，通

过调整罚因子和拉格朗日乘子来平衡计算效率和精度。

1.3.2接触条件

接触条件包括接触压力、摩擦力和滑动行为。在有限元分析中，这些条件

需要通过接触算法来实现：

接触压力：当两个表面接触时，接触压力阻止表面穿透。

摩擦力：在接触面上，摩擦力阻止表面相对滑动。

滑动行为：当接触面上的切向力超过摩擦力时，表面开始滑动。

1.3.3代码示例：使用Python和FEniCS求解接触问题

下面是一个使用Python和FEniCS库求解接触问题的简化示例。FEniCS是一

个用于求解偏微分方程的高级数值求解器，特别适合于有限元分析。

fromdolfinimport*

#创建网格和函数空间

mesh=UnitSquareMesh(10,10)

V=VectorFunctionSpace(mesh,CG,1)

#定义边界条件

2

defboundary(x,on_boundary