弹性力学数值方法：有限元法(FEM)：三维弹性问题有限元分析.pdfVIP

弹性力学数值方法：有限元法(FEM)：三维弹性问题有限元

分析

1绪论

1.1有限元法的历史和发展

有限元法（FiniteElementMethod,FEM）起源于20世纪40年代末，最初

由工程师们在解决结构工程问题时提出。1956年，Clough教授在《美国土木工

程师学会会刊》上发表了一篇关于有限元法的文章，标志着这一方法的正式诞

生。自那时起，FEM迅速发展，成为解决复杂工程问题的强有力工具。随着计

算机技术的进步，FEM的应用范围不断扩大，从最初的线性静态分析，扩展到

非线性、动态、热力学等多物理场问题的分析。

1.2维弹性问题的重要性

三维弹性问题在工程设计和分析中占据核心地位。无论是飞机的机翼、汽

车的车身，还是桥梁的结构，都需要精确地分析其在各种载荷下的变形和应力

分布。三维弹性问题的分析能够提供更准确的结构响应预测，帮助工程师优化

设计，确保结构的安全性和可靠性。

1.3有限元法在弹性力学中的应用

在弹性力学中，有限元法通过将连续体离散成有限数量的单元，将偏微分

方程转化为代数方程组，从而实现数值求解。对于三维弹性问题，每个单元可

以是四面体、六面体或其他形状，单元内部的位移和应力通过插值函数来近似。

通过在单元边界上应用力和位移边界条件，可以求解整个结构的响应。

1.3.1示例：使用Python和FEniCS求解三维弹性问题

#导入必要的库

fromdolfinimport*

#创建一个三维立方体网格

mesh=BoxMesh(Point(0,0,0),Point(1,1,1),10,10,10)

#定义位移函数空间

V=VectorFunctionSpace(mesh,Lagrange,1)

#定义边界条件

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defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),boundary)

#定义材料属性

E=1e3#弹性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定义应变和应力

defepsilon(u):

returnsym(nabla_grad(u))

defsigma(u):

returnlmbda*tr(epsilon(u))*Identity(3)+2*mu*epsilon(u)

#定义变分问题

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,0,-10))#体力

T=Constant((1,0,0))#表面力

a=inner(sigma(u),epsilon(v))*dx

L=dot(f,v)*dx+dot(T,v)*ds

#求解变分问题

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#输出位移和应力

file=File(displacement.pvd)

fileu

#计算应力

stress=sigma(u)-(1./3)*tr(sigma(u))*Identity(3)

file=File(stress.pvd)

filestress

1.3.2代码解释

上述代码使用Python的FEniCS库来求解一个三维弹性问题。首先，创建

了一个三维立方体网格，然后定义了位移的函数空间。边界条件被设定为所有

边界上的位移为零，除了施加表面力的一侧。材料属性，包括弹性模量和泊松

2

比，被定义，用于计算应力。应变和应力的计算通过定义epsilon和sigma函数

实现。变分问题被设定，其中a是双线性形式，L是线性形式，分别对应于弹

性能量和外力做功。最后，求解变分问题，得到位移场，并计算应力场，将结

果输出到VTK文件中，以便于可视化。

通过这个示例，我们可以看到有限元法在处理三维弹性问题时的灵活性和

强大功能，它能够处理复杂的几何形状和边界条件，为工程师提供精确的结构

分析结