专题2.9 巧算有理数【九大题型】（举一反三）（人教版2024）（解析版）.docx

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专题2.9巧算有理数【九大题型】

【人教版2024】

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【题型1凑整法】 1

【题型2拆项法】 3

【题型3组合法】 5

【题型4裂项相消法】 7

【题型5相互转化法】 9

【题型6倒数法】 11

【题型7错位相减法】 13

【题型8利用分配律进行简算】 15

【题型9利用图形进行简算】 19

知识点1：凑整法

多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式,把能凑成整数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方法简称凑整法。

【题型1凑整法】

【例1】（23-24七年级·上海普陀·期中）计算：?3.19+21921

【答案】?5

【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加减混合运算及有理数的加法的运算律是解题的关键．根据有理数加法的运算律，将能凑整的数先凑整，得到?3.19+?6.81

【详解】解：原式=?3.19+219

=

=?10+5

=?5．

【变式1-1】（23-24七年级·广东广州·阶段练习）计算：

?7.3??6

【答案】4

【详解】?7.3?

=3.3?7.3+6

=?4+8

=4．

【点睛】此题考查了有理数加减混合运算，绝对值的化简，正确掌握有理数加减混合运算法则是解题的关键．

【变式1-2】（2024七年级·全国·专题练习）计算：?21

【答案】5

【分析】先根据去括号法则去括号，再根据加法交换律和结合律简便计算即可．

【详解】解：?2

=?2

=?2

=?1+5+1，

=5．

【点睛】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键．

【变式1-3】（2024秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）计算：

?21

【答案】5

【分析】先根据去括号法则去括号，再根据加法交换律和结合律简便计算即可；

【详解】解：?2

=

=

=?1+5+1

=5；

【点睛】本题考查有理数的加法运算，掌握各运算法则是解题关键．

知识点2：拆项法

先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起利用交换律,结合律得出答案。

【题型2拆项法】

【例2】（23-24七年级·河南驻马店·阶段练习）计算：?5

【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．

【详解】解：原式=

=

=0+

=?11

【变式2-1】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：

(1)+357

(2)?20185

【答案】(1)12

(2)?2

【分析】（1）依据“拆项法”计算即可；

（2）依据“拆项法”计算即可．

【详解】（1）+35

=

=

=12+

=121

（2）?2018

=

=

=0+

=?2．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握题目给出的“拆项法”是解答本题的关键．

【变式2-2】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）计算：?20115

【答案】?3

【分析】根据题目中材料，将原式整理为?2011?5

【详解】解：原式=

=

=?1+

=?3．

【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，理解材料中简便运算方法是解题关键．

【变式2-3】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：

(1)+172

(2)?20232

【答案】(1)9

(2)8

【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．

【详解】（1）解：+17

=17+

=(17?7)+(

=10+(?

=9

（2）?2023

=(?2023?

=(?2023?2024+4048)+(?

=1+(?

=

【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键．

知识点3：组合法

观察算式,找出算式分布规律,然后适当分组,利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。

【题型3组合法】

【例3】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）计算1+2?3?4+5+6?7?8+?+2017+2018?2019?2020值为（??）

A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020

【答案】D

【分析】根据加法的结合律四个四个一组结合起来，每一组的和都等于-4,共505组,计算即可．

【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+……+2017+2018-2019-2020

=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+（9+10-11-12）+……+（2017+2018-2019-2020）

=（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+……+