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第三节平面对量的数量积;三年27考高考指数:★★★★★

1.理解平面对量数量积的含义及其物理意义；

2.理解平面对量的数量积与向量投影的关系；

3.掌握数量积的坐标体现式，会进行平面对量数量积的运算；

4.能运用数量积表达两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面对量的垂直关系；

5.会用向量办法解决简朴的平面几何问题.;1.平面对量数量积的运算是高考考察的重点，重要考察应用数量积求平面对量的夹角、模及判断向量的垂直是重点也是难点；

2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主.;1.平面对量的数量积

(1)数量积的定义：已知两个非零向量它们的夹角为θ，则

向量的数量积是数量_________，记作即

(2)向量的投影：

设θ为的夹角，则向量方向上的投影是_______；向量

方向上的投影是_______.;(3)数量积的几何意义：数量积的长度与_____

________________________的乘积.;【即时应用】

(1)已知正三角形ABC的边长为1，则

①=________；

②方向上的投影为________.

(2)已知的夹角θ等于________.

【解析】(1)①

(2)∵

又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.

答案：(1)①②(2)60°;2.平面对量数量积的性质及其坐标表达

已知非零向量=(x1,y1)，=(x2,y2)，θ为向量的夹角.;结论;【即时应用】

(1)思考：若0，与否阐明向量的夹角为钝角？

提示：不一定，也可能是平角.;(2)已知=(1，-1)，=(2,4),判断下列命题的真假(请在括

号内填“真”或“假”)

①()

②若θ为向量的夹角，则()

③若则λ=1()

④=18();【解析】①

②

③∵=(1,-1)+λ(2,4)=(2λ+1,4λ-1)，

∴=(2λ+1)-(4λ-1)=-2λ+2=0，

∴λ=1,③真.

④=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)，

∴=3×6+3×0=18,④真.

答案：①真②真③真④真;3.平面对量数量积的运算律

(1)交换律：

(2)数乘结合律：

(3)分派律：;【即时应用】

(1)思考：相等吗？

提示：不一定相等，;(2)若非零向量的夹角为

_______.

【解析】设的夹角为θ，

又∵||=||≠0，0°≤θ≤180°，

∴cosθ=∴θ=120°.

答案：120°;平面对量数量积的运算

【办法点睛】1.平面对量的数量积问题类型及求法

(1)已知向量的模及夹角θ，运用公式求解；

(2)已知向量的坐标，运用数量积的坐标形式求解.;2.运用数量积求解长度问题的解决办法;【例1】(1)(2011·大纲版全国卷)设向量满足

=()

(2)(2011·湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设

=________.

(3)(2011·辽宁高考改编)已知向量

=________.;【解题指南】(1)借助求解；(2)用基向量

求k，进而求

【规范解答】(1)选B.;(2)由题意画出图形如图所示，取基底结合图形可得

答案：;(3)=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)，

由=10+(2-k)=0,

∴k=12,

∴=(-1,12),

∴=(22+12)-［(-1)2+122］=-140.

答案：-140;【互动探究】若本例(2)题条件改为“若D、E分别为边BC、AC的

中点”，又该如何求

【解析】∵D、E分别为BC、AC的中点，;【反思·感悟】平面对量的数量积的运算有两种形式：一是根据长度和夹角；二是运用坐标来计算.对于第一种形式，要注意拟定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.