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专题02与全等三角形有关的常见几何模型(20题6种模型)
一、倍长中线模型(3小题)
1.(1)如图1,在ABC中,AB=4,AC=6,AD是BC边上的中线,延长AD到点E使DE=AD,连接
CE,把AB,AC,2AD集中在ACE中,利用三角形三边关系可得AD的取值范围是;
(2)如图2,在ABC中,AD是BC边上的中线,点E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF,求证:BE+
CF>EF;
33ABCDACBADC180°DADCEF
()如图,在四边形中,∠为钝角,∠为锐角,∠+∠=,=,点,分
1
BCABEDFADCEFAFEFCE
别在,上,且∠=∠,连接,试探索线段,,之间的数量关系,并加以证
2
明.
【答案】(1)1<AD<5;(2)见解析;(3)AF+EC=EF,见解析
1VCDE≌VBDA(SAS)CE=AB=4△ACE
【分析】()证明,推出,在中,利用三角形的三边关系解决问题即
可.
22EDHDH=DEDHFHVBDE≌VCDH(SAS)BE=CH
()如图中,延长到,使得,连接,.证明,推出,
再证明EF=FH,利用三角形的三边关系即可解决问题.
(3)结论:AF+EC=EF.延长BC到H,使得CH=AF.提供两次全等证明AF=CE,EF=EH即可解决问
题.
【详解】(1)∵CD=BD,AD=DE,∠CDE=∠ADB,
∴VCDE≌VBDA(SAS),
∴EC=AB=4,
∵6﹣4<AE<6+4,
∴2<2AD<10,
∴1<AD<5,
故答案为:1<AD<5;
(2)如图2中,延长ED到H,使得DH=DE,连接DH,FH.
∵BD=DC,∠BDE=∠CDH,DE=DH,
∴△BDE≌△CDH(SAS),
∴BE=CH,
∵FD⊥EH,又DE=DH,
∴EF=FH,在△CFH中,CH+CF>FH,
∵CH=BE,FH=EF,
∴BE+CF>EF;
(3)结论:AF+EC=EF.理由:延长BC到H,使得CH=AF.
∵∠B+∠ADC=180°,
∴∠A+∠BCD=180°,
∵∠DCH+∠BCD=180°,
∴∠A=∠DCH,
∵AF=CH,AD=CD,
∴VAFD≌VCHD(SAS),
∴DF=DH,∠ADF=∠CDH,
∴∠ADC=∠FDH,
1
EDF=ADC
∵∠∠,
2
1
EDF=FDH
∴∠∠,
2
∴∠EDF=∠EDH,
∵DE=DE,
∴△EDF≌△EDH(SAS),
∴EF=EH,
∵EH=EC+CH=EC+AF,
∴EF=AF+EC.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,三角形的中线的性质,三角形的三边关系等知识,解题的
关键是学会倍长中线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
2.阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.
已知:如图,点E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.
求证:AB=CD.
分析:证明两条线段相等,常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明
的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等,因此,要证AB=C
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