专题02 中点模型巩固练习（提优）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.pdf

中点模型巩固练习（提优）

1.如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC＝CE，F为AE的中点，求证：BFFD.

【解答】见解析

【解析】如图，连接CF.

∵AC＝CE，F为AE的中点，∴CFAE，∴∠AFD＋∠DFC＝90º，

∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，ABCE，∠ABC＝∠BAD＝90º，

在Rt△ABE中，∵F为AE的中点，∴BF＝AF，∴∠FBA＝∠FAB，

∴∠FAB＋∠BAD＝∠FBA＋∠ABC，即∠FBC＝∠FAD，

又∵AD＝BC，FA＝FB，∴△FBC≌△FAD，∴∠AFD＝∠BFC，

∴∠BFD＝∠BFC＋∠DFC＝∠AFD＋∠DFC＝90º，∴BFFD.

2.如图，在梯形ABCD中，∠B＋∠C＝90º，EF是两底中点的连线，求证：BC－AD＝2EF.

【解答】见解析

【解析】如图，过点E作EM∥AB交BC于点M，EN∥DC交NC于点N.

∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴四边形ABME和四边形DCNE为平行四边形，∴BM＝AE，CN＝

DE，

∵E、F分别为AD、BC的中点，∴AE＝ED，BF＝CF，∴FM＝FN，

∵EM∥AB，EN∥DC，∴∠EMN＋∠B，∠ENM＝∠C，

又∵∠B＋∠C＝90º，∴∠EMN＋∠ENM＝90º，即∠MEN＝90º，∴EF＝MN，

∴EF＝[BC－（BM＋NC）]＝（BC－AD），即BC－AD＝2EF.

3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC，AD＝CD，AFBD于点E交BC于点F，求证：BF＝

2FC.

【解答】见解析

【解析】如图，过点C作CNBD交BD的延长线于点N.

∵AEBD，∴∠AED＝∠N，

∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDN，∴△ADE≌△CDN（AAS），∴DE＝DN，

∵AFBD，CNBD，∴AF∥CN，∴，

∵∠BAC＝90º，AEBD，∴△ABE∽△DBA，∴，即，

同理可证，∴，

∵AB＝AC＝2AD，，又∵DN＝DE，，

∴，∴BF＝2FC.

4.如图，在四边形ABCD中，E为AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA

的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN的形状.

【解答】四边形PQMN为菱形

【解析】如图，连接AC、BD.

∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∠AEC＝120º，∠BED＝120º，∴∠AEC＝∠BED，

又∵EA＝ED，EC＝EB，∴△AEC≌△DEB，∴AC＝BD，

又∵P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴PNBD，QMBD，

∴PNQM，∴四边形PQMN是平行四边形，

又∵PN＝BD，MN＝AC，∴MN＝PN，∴四边形PQMN是菱形.

5.如图，P是圆O外的一点，过P点引两条割线PAB、PCD，点M、N分别是、的中点，连接

MN分别交AB、CD于点E、F.

（1）求证：△PEF是等腰三角形；

（2）若点P在圆上或圆内，其他条件不变，结论还能成立吗？

【解答】（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析

【解析】（1）如图，证明：连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H.

∵点M、N分别是、的中点，∴OMAB，ONCD，即∠MGE＝∠NHF＝90º，

又∵OM＝ON，∴∠M＝∠N，