高考数学一轮总复习教学课件第七章　立体几何与空间向量第8节　利用空间向量求空间角.pptxVIP

第8节利用空间向量求

空间角;[课程标准要求]

能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量法在研究空间角问题中的作用.;积累·必备知识;1.两条异面直线所成角的求法

设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则;2.直线与平面所成角的求法;3.求二面角的大小;1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角.()

(4)两异面直线夹角的范围是(0,],直线与平面所成角的范围是

[0,],二面角的范围是[0,π].()

(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.();2.(选择性必修第一册P38练习T1改编)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为();解析:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为正方形,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,2),D1(0,0,2),;3.(选择性必修第一册P43习题1.4T10改编)若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成

角的正弦值为.?;4.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,则平面SCD与平面SAB所成锐二面角

的余弦值是.?;02;考点一用空间向量求异面直线所成的角;(2)求异面直线PC与OE所成角的余弦值.;用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)选择三条两两相互垂直的直线建立空间直角坐标系.

(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量.

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.

(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.;(1)求异面直线AP与DM所成角的余弦值;;解:(1)设O是AD的中点,连接OP,OB,

由于PA=PD=,所以OP⊥AD,

由于平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD,OP?平面PAD,

所以OP⊥平面ABCD,

由于OB?平面ABCD,所以OP⊥OB,

在菱形ABCD中,∠BAD=60°,

所以三角形ABD是等边三角形,所以OB⊥AD,

??OA,OB,OP两两相互垂直,由此建立空间直角坐标系如图所示,;(2)在棱PB上是否存在点N,使得AN∥平面BDM?若存在,求的值;若不存在,说明理由. ;考点二用空间向量求直线与平面所成的角;又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,A1O?平面ACC1A1,

所以A1O⊥平面BCC1B1,

因为A1到平面BCC1B1的距离为1,所以A1O=1,

在Rt△A1CC1中,A1C⊥A1C1,CC1=AA1=2,

设CO=x,则C1O=2-x,;(2)若直线AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.;延长AC,使AC=CM,连接C1M,AC1,

由CM∥A1C1,CM=A1C1知四边形A1CMC1为平行四边形,

所以C1M∥A1C,所以C1M⊥平面ABC,

又AM?平面ABC,所以C1M⊥AM,

则在Rt△AC1M中,AM=2AC,C1M=A1C,;利用空间向量求直线与平面所成的角的解题步骤;[针对训练](2022·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,

CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.

(1)证明:BD⊥PA;;又AD∩PD=D,AD,PD?平面ADP,

所以BD⊥平面ADP.

因为PA?平面ADP,所以BD⊥PA.;(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.;[例3](2022·新高考Ⅰ卷)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,

△A1BC的面积为.

(1)求A到平面A1BC的距离;;(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.;利用空间向量计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

(2)找与两平面交线垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与两平面交线垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是