空间向量及其线性运算 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一.pptx

第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算

·选择性必修第一册·

思考：左图是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到哪些力呢？

绳索的拉力，风力，重力

问题：不在同一平面内的合力的方向如何确定？

平面向量

空间向量

平面向量

概念

平面内，具有大小和方向的量

向量的表示

或a

向量的模

平面向量的大小

零向量

长度为0的向量，记为0

单位向量

模为1的向量

共线向量

(平行向量)

方向相同或相反的非零向量

相等向量

方向相同且模相等的向量

相反向量

方向相反且模相等的向量，记为－a

平面向量

空间向量

概念

平面内，具有大小和方向的量

空间内，具有大小和方向的量

向量的表示

或a

或a

向量的模

平面向量的大小

空间向量的大小

零向量

长度为0的向量，记为0

长度为0的向量，记为0

单位向量

模为1的向量

模为1的向量

共线向量

(平行向量)

方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量

相等向量

方向相同且模相等的向量

方向相同且模相等的向量

相反向量

方向相反且模相等的向量，记为－a

方向相反且模相等的向量，记为－a

思考：空间中任意两个向量共面吗？

空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．

由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运.

我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算:

追问向量线性运算的结果与向量起点的选择有关系吗？

⑴空间向量加法运算：

A

B

C

O

⑶空间向量数乘运算：

与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律(其中λ，μ∈R):

交换律：

结合律：

分配律：

利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.

三个不共面的向量的和与这三个向量的关系：

三个不共面的向量的和就是以这三个不共面的向量为邻边的平行六面体的对角线所在向量.

空间共线向量定理

1

题型：判断向量共线或三点共线

向量共线定理

直线的方向向量

•

注意：(1)直线的方向向量一定是非零向量

(2)一条直线的所有方向向量都互相平行

共面向量

思考：共面向量所在直线是何位置关系？

平行、重合、相交或异面

新知探究

共面向量

新知探究

问题：空间任意两个向量是共面的，那么空间任意三个向量呢？

既可能共面，也可能不共面

追问：那么什么情况下三个向量共面呢？

共面向量定理

新知探究

（该定理实际上就是平面向量基本定理）

推论2对于不共线的三点A,B,C和平面ABC外一点O，空间一点P在平面ABC内的充要条件是

O

类比归纳

A，B，P三点共线的充要条件是什么？

P与A，B，C四点共面的充要条件是什么？

P与A，B，C共面

P与A，B共线

证明：

由于四边形ABCD是平行四边形，

∴由向量共面的充要条件知，E,F,G,H四点共面.

证明空间四点共面的三种思路

1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是()

A．共面向量

B．共线向量

C．不共面向量

D．既不共线也不共面的向量

当堂自评

A

检

当堂检测

当堂自评

A

检

当堂检测

当堂自评

A

检

当堂检测

4．对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P在平面ABC内的是()

当堂自评

A

检

当堂检测

本节课你学会了哪些主要内容？

空间向量及其线性运算

空间向量及其相关概念

线性运算

加法

减法

数乘

运算律

向量共线、共面

向量共线的充要条件

向量共面的充要条件

三维设计、小黄本