精品解析：辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校科学高中部2023-2024学年高三上学期高考适应性测试（一)数学试题（解析版）.docxVIP

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东北育才学校科学高中部2023-2024学年度高考适应性测试（一）

高三数学

考生注意：

1.本试卷共150分，考试时间120分钟.分四大题，22小题，共6页

2.请将各题答案填写在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容

一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）

1.欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（）

A.的实部为 B.在复平面内对应的点在第一象限

C. D.的共轭复数为

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数实部定义、复数的几何意义、模长的计算和共轭复数定义依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，则实部为，A错误；

对于B，对应的点为，

，，对应的点位于第二象限，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，，则其共轭复数为，D错误.

故选：C.

2.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题，命题为等腰三角形．则p是q的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角恒等变换公式和正弦定理，把中等式化为，从而，得或，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

【详解】根据正弦定理可得，

所以

所以，

即，

整理得，则或，

因为，，，，

则或，即或，所以由不能推出；

当为等腰三角形时，不一定为，也不一定相等，所以由不能推出，

故p是q的既不充分也不必要条件．

故选：D

3.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为，则该阿基米德多面体的表面积为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】通过图形可知阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，分别求解正方形和等边三角形面积，加和即可.

【详解】由题意知：阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，

其中正方形边长和等边三角形的边长均为；

阿基米德多面体的表面积.

故选：A.

4.公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线与直线所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体，下列平面图形绕其对称轴（虚线所示）旋转一周所得几何体与的体积相同的是（）

A.图①，长为?宽为的矩形的两端去掉两个弦长为?半径为的弓形

B.图②，长为?宽为的矩形的两端补上两个弦长为?半径为的弓形

C.图③，长为?宽为的矩形的两端去掉两个底边长为?腰长为的等腰三角形

D.图④，长为?宽为的矩形的两端补上两个底边长为?腰长为的等腰三角形

【答案】B

【解析】

【分析】将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为轴建立平面直角坐标系，根据在轴的最短和最长距离与双曲线实轴长和几何体母线长对比可排除③④；假设，与双曲线相交后旋转，可求得圆环面积；分别在①②中求得与图形相交所得的弦长，根据旋转后的圆环面积和圆面积是否与已知的圆环面积相等来判断出结果.

【详解】由得：，

则当与相交于两点时，内圆半径，则在该位置旋转一周所得圆环面积为；

将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为轴建立平面直角坐标系，

对于③，双曲线实轴长为，③中轴最短距离为，不合题意，③错误；

对于④，几何体母线长为，④中轴的最长距离为，不合题意，④错误；

对于①，在轴的最短距离为，母线长为，与几何体吻合；

当与①中图形相交时，两交点之间距离为，

此时圆环面积为，不合题意，①错误

对于②，在轴的最长距离为，矩形高为，与几何体吻合；

当与②中图形相交时，两交点之间距离为，

此时圆面积为，与圆环面积相同，满足题意，②正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题以祖暅原理为载体，考查了旋转体截面面积的求解问题；解题关键是能够充分理解祖暅原理，根据直线与平面图形的相交弦来确定旋转后所得的图形，并求得图形面积，根据“幂势既同，则积不容异”来得到结论.

5.已知正实数a，b满足，则的最小值为（）

A. B.3 C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题设条件有，令则有、，应用基本不等式求范围且恒成立，进而求的范围，即可得结果.

【详解】由，则