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沈阳铁路实验中学2024届高三第二次模拟考试
高三数学
一、单选题
1.已知集合,,则()
A. B. C. D.
2.欧拉是世界上伟大的数学家,而欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式.其中最著名的有,复变函数中的欧拉幅角公式,即将复数、指数函数与三角函数联系起来,公式内容为:,则()
A. B. C.1 D.2
3.若,是夹角为的两个单位向量,且与的夹角为()
A. B. C. D.
4.设,分别是两个等差数列,的前n项和.若对一切正整数n,恒成立,()
A. B. C. D.
5.赤岗塔是广州市级文物保护单位,是广州市明代建筑中较具特色的古塔之一,与琶洲塔、莲花塔并称为广州明代三塔,如图,在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处,塔顶C的仰角为30°,在A的正东方向且距D点61的B点测得塔底位于北偏西45°方向上(A,B,D在同一水平面),则塔的高度CD约为()
(参考数据:)
A.40m B.45m
C.50m D.55m
6.已知函数,若把的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍后,再将图象向右平移个单位,可以得到,则下列说法不正确的是()
A.
B.的周期为
C.的一个单调递增区间为
D.在区间上有5个不同的解,则的取值范围为
7.已知函数是定义在上的可导函数,其导函数为,若对任意有,,且,则不等式的解集为()
A. B.
C. D.
8.已知函数,给出下列四个结论:
①存在无数个零点;
②在上有最大值;
③若,则;
④区间是的单调递减区间.
其中所有正确结论序号为()
A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④
二、多选题
9.下列说法正确的是()
A.函数的图像恒过定点
B.“”的必要不充分条件是“”
C.函数的最小正周期为2
D.函数的最小值为2
10.已知等差数列的前n项和为,公差.若,则()
A. B. C. D.
11.函数的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是()
A.的最小正周期是
B.值为
C.在上单调递增
D.若为偶函数,则最小值为
12.已知函数,则下列说法正确的是()
A当时,有两个极值点
B.当时,的图象关于中心对称
C.当,且时,可能有三个零点
D.当在上单调时,
三、填空题
13.复平面上两个点分别对应两个复数,它们满足下列两个条件:①;②两点连线中点对应的复数为,若为坐标原点,则的面积为______
14.已知正项等差数列,公差为,前项和为,若也是公差为的等差数列,则__________.
15.已知中,,BC=2,点P是BC边上一点,若,则______.
16.已知函数有两个极值点,,且,则实数m的取值范围是__________.
四、解答题
17.如图,在四边形中,与互补,.
(1)求;
(2)求四边形的面积.
18.已知平面向量,,记,
(1)对于,不等式(其中m,)恒成立,求的最大值.
(2)若的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,a,b,c成等比数列,求的值.
19.记为数列的前项和,已知.
(1)求的通项公式;
(2)设单调递增的等差数列满足,且成等比数列.
(i)求的通项公式;
(ii)设,证明:.
20.已知的内角的对边分别为.
(1)若,求的值;
(2)是否存在以为直角顶点的?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
21.设函数在区间上的导函数为,且在上存在导函数(其中).定义:若区间上恒成立,则称函数在区间上为凸函数.
已知函数图像过点,且在点处的切线斜率为.
(1)判断在区间上是否为凸函数,说明理由;
(2)求证:当时,函数有两个不同的零点.
22.已知函数,.
(1)若,求实数a的取值范围;
(2)存在正实数a,使得成立,(e为自然对数的底数),求实数a的取值范围.
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