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吉首大学毕业论文

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本科生毕业论文

题目：

求函数极限的方法

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引言

在自然科学、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段.既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢？这个方法就是极限.在数学分析与微积分学中，极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文将通过一些典型例题来讨论求函数极限的方法.

求函数极限的方法

利用定义求极限

定义2.1.1(趋于时的函数极限) ：函数在点的空心邻域内有定义，是一个确定的数，若对任意的正数，存在，使得当时，都有，则称趋向于的极限存在，且为，记作.

下面举例说明如何根据定义来求这种函数极限，我们要特别注意的值是如何确定的，它和有什么关系.

例2.1.1证明

证：＞0，＜成立，

解得＜

取于是存在0＜＜,

有＜

故

注：一般的取值要依赖于，但它不是由唯一确定的.在上例中还可以把取得更小一些，这取决于函数式放缩的程度.

定义2.1.2(趋向时的函数极限)：设为定义在上的函数，为定值，若对任给正数，存在正数(≥）使得当＞时有＜.则称函数当时以为极限，记作或.

趋向于时的函数极限的定义与定义2.1.2相似，只要把定义中的＞改为即可.

下面同样举例说明用定义求这种函数极限的方法.

例2.1.2证明=

分析这是一个关于自变量n趋向于无穷大的函数极限，n相当于定义中的，先将函数式适当放大，再根据函数定义求证函数极限.

证：，

当，

有，

，

当时，有

故=

注1在上式中运用了适当放大的方法，这样求解比较简便.但要注意这种放大必须要“适度”，这样才能根据给定的来确定N，同时要注意此题中的N不一定非要是整数，只要是正数即可.

注2函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极限表示的是自变量趋向某点时函数值的变化规律.

利用迫敛性求极限

我们常说的迫敛性或夹逼定理：若有且则.

例2.2.1求极限

分析：即，易知关于单调递增.

即得

当，上式左、右两端各趋于0和1，似乎无法利用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩.

解：对各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变.就得如下不等关系：

令，上式左、右两端各趋于，得

利用归结原则求极限

归结原则设在内有定义，存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等．

例2.3.1求极限

分析：利用复合函数求极限，令，求解．

解：令，则有

；，

由幂指函数求极限公式得

，

故由归结原则得

注1归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于，，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．

注2若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则不存在．

利用洛比达法则求极限

洛比达