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弹性力学基础：兼容方程：胡克定律与材料属性

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形、

应力和应变分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、

无间隙的介质，其性质在任何点上都是均匀的。弹性力学的核心在于理解和预

测材料在不同载荷条件下的行为，这对于工程设计和材料科学至关重要。

1.1.1弹性体

弹性体是指在外力作用下能够发生变形，当外力去除后，能够恢复到原来

形状的物体。这种恢复原状的能力是由于材料内部的弹性力，它试图使材料回

到其自然状态。

1.1.2应力

应力是单位面积上的内力，它描述了材料内部各部分之间的相互作用。在

弹性力学中，应力通常分为正应力（σ）和剪应力（τ）。正应力是垂直于材料

表面的应力，而剪应力则是平行于表面的应力。

1.1.3应变

应变是材料在外力作用下发生的变形程度的量度。它没有单位，通常用ε

表示。应变分为线应变和剪应变。线应变描述了材料在某一方向上的伸长或缩

短，而剪应变描述了材料的剪切变形。

1.2弹性体的变形与应力

在弹性力学中，材料的变形与应力之间的关系是通过胡克定律来描述的。

胡克定律表明，在弹性范围内，应力与应变成正比，比例常数称为弹性模量。

1.2.1胡克定律

胡克定律的数学表达式为：

=

²

其中：-σ是正应力（单位：Pa或N/m）。-ε是线应变（无单位）。-E

²

是杨氏模量，也称为弹性模量（单位：Pa或N/m）。

1

1.2.2材料属性

材料的弹性行为由其固有的属性决定，主要包括：-杨氏模量（E）：描述

材料抵抗拉伸或压缩变形的能力。-泊松比（ν）：当材料在某一方向上受到拉

伸时，其在垂直方向上的收缩比例。-剪切模量（G）：描述材料抵抗剪切变形

的能力。

1.2.3示例：计算应力和应变

假设有一根长为1m、截面积为0.01m²的钢杆，当受到1000N的拉力时，

其长度增加了0.001m。已知钢的杨氏模量E=200GPa。

1.2.3.1计算线应变

0.001

===0.001

1

1.2.3.2计算正应力

1000

===100000Pa 

0.01

1.2.3.3验证胡克定律

9

==200×10×0.001=200000 Pa

实际计算的应力与通过胡克定律计算的应力相近，验证了胡克定律在弹性

范围内的适用性。

1.2.4弹性力学的应用

弹性力学在多个领域有广泛的应用，包括：-结构工程：设计桥梁、建筑

和机械结构，确保它们在各种载荷下能够安全工作。-材料科学：研究新材料

的性能，如复合材料、纳米材料等。-生物医学工程：分析人体组织和器官的

力学行为，设计医疗设备和植入物。

通过深入理解弹性力学，工程师和科学家能够更准确地预测和控制材料的

变形，从而设计出更安全、更高效的结构和设备。

2胡克定律详解

2.1胡克定律的历史背景与定义

胡克定律，由英国科学家罗伯特·胡克于1678年提出，是描述材料在弹性

范围内应力与应变关系的基本定律。胡克观察到，当外力作用于弹簧时，弹簧

2

的伸长量与外力成正比，这一观察结果后来被推广到更广泛的材料上，形成了

胡克定律的基础。胡克定律不仅适用于拉伸和压缩，也适用于剪切和扭转，只