弹性力学基础：内力计算：弯曲梁的内力计算方法.pdf

弹性力学基础：内力计算：弯曲梁的内力计算方法

1弹性力学基础概念

1.1弹性体与弹性常数

1.1.1弹性体定义

弹性体是指在受到外力作用时，能够产生变形并在外力去除后恢复原状的

物体。这种恢复原状的能力是基于物体内部的弹性力，这些力试图使物体回到

其初始状态。在工程和物理学中，弹性体的概念广泛应用于材料科学，结构分

析，以及机械设计等领域。

1.1.2弹性常数

弹性常数是描述材料弹性性质的物理量，主要包括杨氏模量（Young’s

modulus）、剪切模量（Shearmodulus）、泊松比（Poisson’sratio）等。这些常

数在弹性力学中起着关键作用，用于计算应力与应变之间的关系。

杨氏模量（E）:表示材料在弹性范围内抵抗拉伸或压缩变形的能

力。单位为帕斯卡（Pa）或牛顿每平方米（N/m²）。

剪切模量（G）:描述材料抵抗剪切变形的能力。单位同样为帕斯

卡（Pa）。

泊松比（ν）:定义为横向应变与纵向应变的比值，无量纲。

1.2应力与应变关系

1.2.1应力定义

应力是单位面积上的内力，是材料内部对施加外力的响应。应力可以分为

正应力（σ）和剪应力（τ）。正应力是垂直于材料截面的应力，而剪应力则是

平行于材料截面的应力。

1.2.2应变定义

应变是材料在应力作用下发生的变形程度，通常表示为原始尺寸的百分比

变化。应变分为线应变（ε）和剪应变（γ）。线应变是长度变化与原始长度的

比值，剪应变是角度变化的正切值。

1

1.2.3应力应变关系

在弹性范围内，应力与应变之间存在线性关系，这一关系由胡克定律描述。

1.3胡克定律解析

1.3.1胡克定律表述

胡克定律（Hooke’sLaw）是弹性力学中的基本定律，由英国物理学家罗

伯特·胡克于1678年提出。该定律表述为：在弹性范围内，材料的应力与应变

成正比。

=⋅

其中，σ是应力，E是杨氏模量，ε是应变。

1.3.2胡克定律应用示例

假设有一根钢梁，其杨氏模量E为200GPa。当钢梁受到拉力作用，产生

0.001的线应变时，我们可以计算出钢梁内部的正应力。

#定义杨氏模量和应变

单位：帕斯卡（）

E=200e9#Pa

epsilon=0.001#单位：无量纲

#根据胡克定律计算应力

sigma=E*epsilon

#输出结果

print(f钢梁内部的正应力为：{sigma}Pa)

这段代码中，我们首先定义了钢梁的杨氏模量E和线应变ε。然后，根据

胡克定律的公式计算出正应力σ，并使用print函数输出结果。通过这个例子，

我们可以直观地看到胡克定律在实际工程问题中的应用。

1.3.3胡克定律的限制

胡克定律只在材料的弹性范围内成立，一旦外力超过材料的弹性极限，材

料将发生塑性变形，此时胡克定律不再适用。此外，对于某些非线性材料，即

使在弹性范围内，应力与应变的关系也可能不是线性的。

1.4弹性力学中的其他重要概念

1.4.1弹性模量矩阵

在多轴应力状态下，材料的应力与应变之间的关系可以通过弹性模量矩阵

2

来描述。对于各向同性材料，弹性模量矩阵可以简化为两个独立的弹性常数：

杨氏模量E和泊松比ν。

1.4.2应力张量与应变张量

在三维空间中，应力和应变可以分别用应力张量和应变张量来表示。这些

张量包含了材料在各个方向上的应力和应变信息，是分析复杂结构变形的基础。

1.4.3弹性能量

弹性能量是材料在弹性变形过程中储存的能量。它与应力和应变的乘积成

正比，是评估材料在弹性范围内承受外力能力的重要指标。

1.5总结

弹性力学基础概念涵盖了弹性体的定义，弹性常数的介绍，以及应力与应

变之间的关系，其中胡克定律是核心内容。通过理解和应用这些概念，工程师

和技术人员能够更准确地分析和预测材料在不同外力作用下的行为，从而设计

出更安全、更高效的结构和产品。

2弯曲梁的内力分析

2.1梁的弯曲理论

在弹性