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弹性力学基础：平衡方程与能量原理

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、无间

隙的介质，其中的物理量（如位移、应力、应变）是连续变化的。弹性力学的

核心在于建立和求解描述弹性体行为的数学模型，这些模型通常包括平衡方程、

几何方程和物理方程。

1.1.1弹性体的定义

连续性：弹性体内部的物理量是连续分布的。

均匀性：材料的性质在弹性体内部是均匀的。

各向同性：材料的性质在所有方向上都是相同的。

线弹性：应力与应变之间存在线性关系，遵循胡克定律。

1.1.2胡克定律

胡克定律是弹性力学中的基本定律，描述了在弹性范围内，应力与应变之

间的线性关系。对于一维情况，胡克定律可以表示为：

=

其中，是应力，是应变，是弹性模量，一个材料的固有属性。

1.2弹性体的变形与应力

在弹性力学中，变形和应力是两个关键概念，它们描述了弹性体在外力作

用下的响应。

1.2.1应变

应变是描述物体变形程度的物理量。对于线性弹性材料，应变可以分为线

应变和剪应变。线应变描述了物体在某一方向上的长度变化，而剪应变描述了

物体在某一平面上的形状变化。

1.2.2应力

应力是描述物体内部单位面积上力的大小。它分为正应力和剪应力。正应

力是垂直于物体表面的应力，而剪应力是平行于物体表面的应力。

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1.2.3平衡方程

平衡方程描述了弹性体内部的力平衡条件。在三维情况下，平衡方程可以

表示为：

∂∂∂

+++=

∂∂∂

∂∂∂

+++=

∂∂∂

∂∂∂

+++=

∂∂∂

其中，,,是正应力，,,是剪应力，,,是体积力的分

,,

量，是材料的密度，是位移的加速度分量。

1.2.4几何方程

几何方程描述了位移与应变之间的关系。在小变形情况下，几何方程可以

简化为：

∂

=

∂

∂

=