弹性力学基础：位移函数：三维弹性问题的位移解法.pdf

弹性力学基础：位移函数：三维弹性问题的位移解法

1弹性力学基础概念

1.1弹性体与弹性常数

在弹性力学中，弹性体指的是在受到外力作用时能够产生变形，而在外力

去除后能够恢复原状的物体。这种恢复原状的能力是由于弹性体内部的分子或

原子间存在相互作用力，使得物体在变形后能够产生恢复力，从而回到初始状

态。弹性体的性质可以通过弹性常数来描述，其中最重要的是杨氏模量（Young’

smodulus）和泊松比（Poisson’sratio）。杨氏模量表示材料在弹性范围内抵抗

拉伸或压缩变形的能力，而泊松比则描述了材料在拉伸或压缩时横向变形与纵

向变形的比例关系。

1.2应力与应变的关系

1.2.1应力

应力（Stress）是单位面积上的内力，它描述了材料内部各部分之间相互作

用的强度。在三维弹性问题中，应力可以分为正应力（NormalStress）和剪应

力（ShearStress）。正应力是垂直于材料表面的应力，而剪应力则是平行于材料

表面的应力。应力张量是一个3x3的矩阵，用于完全描述材料内部任意点的应

力状态。

1.2.2应变

应变（Strain）是材料变形的度量，它描述了材料在受力作用下形状和尺寸

的变化。应变可以分为线应变（LinearStrain）和剪应变（ShearStrain）。线应变

是材料长度变化与原长的比值，而剪应变则是材料在剪切力作用下角度的改变。

应变张量同样是一个3x3的矩阵，用于描述材料内部任意点的应变状态。

1.2.3应力应变关系

在弹性范围内，应力与应变之间存在线性关系，这一关系由胡克定律

（Hooke’sLaw）描述。对于各向同性材料，胡克定律可以表示为：

=

其中，是应力张量，是应变张量，是弹性常数矩阵。在简化的情

况下，对于线性弹性材料，应力应变关系可以进一步简化为：

=

这里，是杨氏模量，别表示正应力和线应变。

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1.3平衡方程与边界条件

1.3.1平衡方程

在弹性力学中，平衡方程描述了弹性体内部的力平衡条件。对于静力学问

题，平衡方程可以表示为：

∂

+=0

∂

其中，是应力张量，是坐标，是单位体积的体力（如重力）。这个方

程表明，在任意点上，应力的梯度和体力的和必须为零，以确保材料内部的力

平衡。

1.3.2边界条件

边界条件是弹性力学问题中不可或缺的一部分，它描述了弹性体与外界的

相互作用。边界条件可以分为两种类型：

1.位移边界条件：在弹性体的某些边界上，位移被指定为已知值。

例如，固定端的位移为零。

2.应力边界条件：在弹性体的某些边界上，应力被指定为已知值。

例如，受力端的应力等于外力。

在解决弹性力学问题时，必须同时满足平衡方程和边界条件，才能得到完

整的解。

1.4示例：计算弹性体的应力和应变

假设我们有一个各向同性弹性体，其杨氏模量=200泊松比=0.3。

弹性体受到均匀的拉伸力，导致其长度从100mm增加到102mm，宽度和高度

保持不变。我们可以计算出线应变和正应力。

1.4.1数据样例

杨氏模量=200

泊松比=0.