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弹性力学基础：应力函数：应力函数的引入与意义

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、无间

隙的介质，其内部的物理量（如位移、应力、应变）可以连续变化。弹性力学

的核心是通过数学模型描述材料的力学行为，这些模型包括弹性方程、边界条

件和本构关系。

1.1.1弹性体的定义

连续性：材料内部无间隙，物理量连续变化。

均匀性：材料的物理性质在所有点上相同。

各向同性：材料的物理性质在所有方向上相同。

小变形假设：变形相对于原始尺寸很小，可以忽略高阶项。

1.1.2应力与应变

应力（Stress）：单位面积上的内力，分为正应力（σ）和剪应力

（τ）。

应变（Strain）：材料变形的程度，分为线应变（ε）和剪应变

（γ）。

1.2弹性体的变形与应力

在弹性力学中，当弹性体受到外力作用时，会发生变形。这种变形导致内

部应力的产生，应力与应变之间的关系由材料的本构方程描述。对于线弹性材

料，这种关系遵循胡克定律。

1.2.1胡克定律

胡克定律表述了在弹性范围内，应力与应变成正比关系。对于一维情况，

胡克定律可以表示为：

=

其中，σ是应力，ε是应变，E是材料的弹性模量。

1.2.2应力张量

在三维情况下，应力不仅包括正应力，还包括剪应力，这些应力可以用一

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个二阶张量来表示，称为应力张量（StressTensor）。应力张量可以表示为：

其中，σ_{xx}、σ_{yy}、σ_{zz}是正应力，而σ_{xy}、σ_{xz}、σ_{yx}、

σ_{yz}、σ_{zx}、σ_{zy}是剪应力。

1.2.3应变张量

与应力张量类似，应变也可以用一个二阶张量来表示，称为应变张量

（StrainTensor）。应变张量可以表示为：

其中，ε_{xx}、ε_{yy}、ε_{zz}是线应变，而ε_{xy}、ε_{xz}、ε_{yx}、

ε_{yz}、ε_{zx}、ε_{zy}是剪应变。

1.2.4弹性方程

弹性方程是描述弹性体内部应力与应变关系的方程，对于线弹性材料，可

以表示为：

=

其中，σ_{ij}是应力张量的元素，ε_{kl}是应变张量的元素，C_{ijkl}是弹性

常数，描述了材料的弹性性质。

1.2.5平衡方程

平衡方程描述了弹性体内部力的平衡条件，即在任意点上，作用在该点上

的所有力的矢量和为零。在三维情况下，平衡方程可以表示为：

∂