通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题15三角函数与解三角形综合含解析理.docVIP

PAGE

PAGE26

专题15三角函数与解三角形综合

【2024年】

1.（2024·新课标Ⅱ）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由正弦定理可得：，

，

，.

（2）由余弦定理得：，

即.

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为.

【点睛】本题考查解三角形的相关学问，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

2.（2024·北京卷）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ）和的面积．

条件①：；

条件②：．

注：假如选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；

选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.

【解析】选择条件①（Ⅰ）

（Ⅱ）

由正弦定理得：

选择条件②（Ⅰ）

由正弦定理得：

（Ⅱ）

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解实力，属中档题.

3.（2024·山东卷）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?

注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】详见解析

【解析】解法一：

由可得：，

不妨设，

则：，即.

选择条件①的解析：

据此可得：，，此时.

选择条件②的解析：

据此可得：，

则：，此时：，则：.

选择条件③的解析：

可得，，

与条件冲突，则问题中的三角形不存在.

解法二：∵,

∴,

，

∴,∴,∴,∴,

若选①，,∵,∴,∴c=1;

若选②，,则,;

若选③,与条件冲突.

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采纳到正弦定理，出现边的二次式一般采纳到余弦定理．应用正、余弦定理时，留意公式变式的应用．解决三角形问题时，留意角的限制范围．

4.（2024·天津卷）在中，角所对的边分别为．已知．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）在中，由及余弦定理得

，

又因为，所以；

（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；

（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，

进而，

所以.

【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算实力，是一道简单题.

5.（2024·浙江卷）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（I）求角B；

（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

【答案】（I）；（II）

【解析】

（I）由结合正弦定理可得：

△ABC为锐角三角形，故.

（II）结合(1)的结论有：

.

由可得：，，

则，.

即的取值范围是.

【2024年】

1．【2024年高考全国Ⅰ卷】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由已知得，故由正弦定理得．

由余弦定理得．

因为，所以．

（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，

即，可得．

由于，所以，故

．

2．【2024年高考全国Ⅲ卷】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

【答案】（1）B=60°；（2）.

【解析】（1）由题设及正弦定理得．

因为sinA0，所以．

由，可得，故．

因为，故，因此B=60°．

（2）由题设及（1）知△ABC的面积．

由正弦定理得．

由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°，由（1）知A+C=120°，所以30°C90°，故，从而．

因此，△ABC面积的取值范围是．

3．【2024年高考北京卷】在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．

（1）求b，c的值；

（2）求sin（B–C）的值．

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）由余弦定理，得

.

因为，

所以.

解得.

所以.

（2）由得.

由正弦定理得.

在中，∠B是钝角，

所以∠C为锐角.

所以.

所以.

4．【2024年高考天津卷】在中，内角所对的边分别为．已知，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得到，．由余弦定理可得．

（2）由（1）可得，从而，，故

．

5．【2024年高考江苏卷】在