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弹性力学数值方法：变分法：弹性力学中的泛函与变分

1弹性力学与变分法的联系

弹性力学研究的是物体在外力作用下变形和应力分布的科学。变分法，作

为数学分析的一个分支，提供了一种寻找函数极值的方法，这在解决弹性力学

问题时变得至关重要。在弹性力学中，系统的总能量（包括弹性势能和外力做

功）可以表示为一个泛函，而变分法则用于寻找使这个泛动能达到极小值的位

移场，从而得到物体的平衡状态。

1.1泛函与变分的基本概念

1.1.1泛函(Functional)

泛函是函数的函数，它将一个函数映射到一个实数。在弹性力学中，我们

通常关心的泛函是能量泛函，它描述了系统在给定位移场下的总能量。

1.1.2变分(VariationalCalculus)

变分法是寻找泛函极值的数学工具。它类似于微积分中的极值问题，但处

理的是函数的极值，而不是变量的极值。在弹性力学中，我们通过变分原理来

寻找使能量泛功能性达到极小值的位移场。

1.2弹性力学中的泛函与变分

在弹性力学中，考虑一个物体在弹性变形下的能量泛函，可以表示为：

ℰ=∇−⋅​

ℰ

其中，是能量泛函，是位移场，是应变能密度，是外力，和

分别是物体的体积和表面。

1.2.1应变能密度

应变能密度描述了物体内部由于变形而储存的能量。对于线性弹性材料，

它可以通过胡克定律表示为：

1

=

:

2

其中，是应力张量，是应变张量，冒号表示张量的内积。

1.2.2变分原理

变分原理指出，当物体处于平衡状态时，能量泛功能性达到极小值。这意

1

味着对于任何微小的位移场变化，能量泛功能性变化必须为零：

−⋅​​

=:=0

1.2.3数值方法示例：有限元法

有限元法是一种常用的数值方法，用于求解弹性力学中的变分问题。它将

物体分解为许多小的单元，然后在每个单元上近似位移场，通过求解单元的平

衡方程来得到整个物体的解。

1.2.3.1代码示例

下面是一个使用Python和SciPy库求解弹性力学问题的简单示例。假设我

们有一个简单的二维梁，受到垂直向下的力作用，我们使用有限元法来求解其

位移。

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义网格和节点

n=10#网格数量

nodes=np.linspace(0,1,n+1)#节点位置

elements=np.array([(i,i+1)foriinrange(n)])#元素连接

#定义材料属性

E=200e9#弹性模量

nu=0.3#泊松比

A=0.01#横截面积

#定义外力

F=np.zeros(n+1)

F[n//2]=-1e3#在中间节点施加垂直向下的力

#创建刚度矩阵和力向量

K=lil_matrix((n+1,n+1))

foreinelements:

#计算元素的刚度矩阵

Ke=np.array([[E*A,-E*A],[-