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弹性力学数值方法：迭代法：有限元法基础

1弹性力学数值方法：迭代法：有限元法基础

1.1绪论

1.1.1弹性力学概述

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，利用数学模型描述材料的弹性行

为。在工程应用中，弹性力学被广泛用于结构设计、材料性能评估和故障预测

等领域。

1.1.2数值方法在弹性力学中的应用

数值方法是解决弹性力学问题的有效工具，尤其是在处理复杂几何形状、

非线性材料特性和边界条件时。其中，有限元法（FiniteElementMethod,FEM）

是最为常用的一种数值方法。它将连续的弹性体离散为有限数量的单元，通过

在每个单元上建立局部的近似解，然后将这些局部解组合起来，得到整个结构

的近似解。

1.1.3迭代法简介

迭代法是一种数值求解方法，用于求解线性或非线性方程组。在有限元法

中，迭代法常用于求解非线性问题，如大变形、接触问题和材料非线性等。迭

代法的基本思想是，从一个初始猜测开始，逐步修正解，直到满足收敛准则。

1.2弹性力学数值方法

1.2.1有限元法基础

有限元法的基本步骤包括：

1.结构离散化：将连续的结构划分为有限数量的单元。

2.选择位移模式：在每个单元内，选择适当的函数来近似位移场。

3.建立单元方程：利用变分原理或能量原理，建立每个单元的平衡

方程。

4.组装整体方程：将所有单元方程组装成整体结构的方程。

5.施加边界条件：根据问题的边界条件，修改整体方程。

6.求解方程：解整体方程，得到结构的位移、应力和应变。

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1.2.1.1代码示例：使用Python实现简单有限元分析

importnumpyasnp

#定义单元刚度矩阵

defunit_stiffness(E,A,L):

计算单个杆单元的刚度矩阵

:paramE:材料的弹性模量

:paramA:杆的截面积

:paramL:杆的长度

:return:单元刚度矩阵

k=E*A/L

returnnp.array([[k,-k],[-k,k]])

#定义整体刚度矩阵

defglobal_stiffness(units):

组装整体刚度矩阵

:paramunits:单元列表，每个单元包含弹性模量、截面积和长度

:return:整体刚度矩阵

n=len(units)+1#节点数

K=np.zeros((n,n))

fori,(E,A,L)inenumerate(units):

k=unit_stiffness(E,A,L)

K[i:i+2,i:i+2]+=k

returnK

#定义求解位移的函数

defsolve_displacement(K,F,boundary):

求解位移

:paramK:整体刚度矩阵

:paramF:外力向量

:paramboundary:边界条件，指定哪些节点位移为0

:return:位移向量

#应用边界条件

foriinboundary:

K[i,:]=0

K[:,i]=0

K[i,i]=1

2

F[i]=0

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F)

returnU

#示例数据

units=[(200e9,0.01,1),(200e9,0.01,1)]#弹性模量、截面积、长度

F=np.array([0,-1000,0])#外力向量

boundary=[0,2]#边界条件

#计算整体刚度矩阵

K=global_stiffness(units)

#求解位移

U=solve_displacement(K,F,boundary)