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弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)：FVM的离散化过程

1弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)绪论

1.1有限体积法的起源与应用

有限体积法（FiniteVolumeMethod,FVM）起源于流体力学领域，最初用于

求解偏微分方程，特别是那些描述流体动力学的方程。FVM的核心思想是基于

守恒定律，通过将连续的物理域离散化为一系列控制体积，然后在每个控制体

积上应用守恒定律，从而将偏微分方程转化为代数方程组。这种方法不仅适用

于流体力学，也逐渐扩展到其他领域，包括弹性力学，用于求解结构的应力、

应变和位移。

在弹性力学中，FVM可以处理复杂几何形状和边界条件，尤其在处理非线

性材料和大变形问题时表现出色。它通过在每个单元上应用力和能量的守恒，

能够提供更准确的应力和应变分布，这对于工程设计和分析至关重要。

1.2弹性力学中的数值方法概述

弹性力学中的数值方法主要包括有限元法（FEM）、有限体积法（FVM）、

边界元法（BEM）和离散元法（DEM）等。每种方法都有其特定的应用场景和

优势。FVM在弹性力学中的应用，主要集中在解决连续介质力学问题，尤其是

当问题涉及复杂的流固耦合或流固相互作用时。

1.2.1有限体积法在弹性力学中的应用

在弹性力学中，FVM通过将结构离散化为一系列控制体积，然后在每个控

制体积上应用平衡方程和守恒定律，来求解结构的响应。这种方法特别适用于

处理包含流体的结构，如油井、水坝和管道等，其中流体的流动和结构的变形

相互影响。

1.2.2FVM与FEM的比较

FVM基于守恒原理，适用于处理守恒型偏微分方程，如连续性方

程、动量方程和能量方程。它在处理对流主导问题时更为准确。

FEM基于变分原理，适用于处理更广泛的偏微分方程，包括非守

恒型方程。它在处理复杂的几何形状和材料非线性问题时更为灵活。

1.2.3FVM的离散化过程

FVM的离散化过程包括以下步骤：

1.网格划分：将连续的物理域划分为一系列控制体积。

1

2.积分方程：在每个控制体积上应用守恒定律，将偏微分方程转化

为积分方程。

3.数值积分：使用数值积分技术（如高斯积分）来近似积分方程。

4.代数方程组：将积分方程转化为代数方程组，通过求解这些方程

组来得到物理量的近似解。

5.边界条件：在控制体积的边界上应用适当的边界条件。

6.迭代求解：对于非线性问题，可能需要通过迭代方法来求解代数

方程组。

1.2.4示例：使用FVM求解弹性力学问题

假设我们有一个简单的弹性力学问题，需要求解一个受力的杆的位移。虽

然FVM在处理这类问题时不如FEM常见，但我们可以构建一个简单的控制体

积模型来说明其原理。

1.2.4.1数据样例

材料属性：弹性模量=200，泊松比=0.3

几何参数：杆的长度=1 截面面积=0.01 

载荷：杆的一端受力=100 

1.2.4.2离散化过程

1.网格划分：将杆离散化为10个等长的控制体积。

2.积分方程：在每个控制体积上应用平衡方程。

3.数值积分：假设每个控制体积内的应力和应变是均匀的，使用简

单的数值积分方法。

4.代数方程组：将积分方程转化为代数方程组，每个控制体积对应

一个方程。

5.边界条件：在杆的两端应用适当的边界条件，一端固定，另一端

受力。

6.迭代求解：对于线性问题，可以直接求解代数方程组；对于非线

性问题，则需要迭代求解。

1.2.4.3代码示例

#导入必要的库

importnumpyasnp

#定义材料属性和几何参数

E=200e9#弹性