弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)与有限元法(FEM)的比较.pdfVIP

弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)与有限元法(FEM)的

比较

1弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)与有限元法(FEM)

的比较

1.1绪论

1.1.1弹性力学数值方法简介

弹性力学是研究物体在外力作用下变形和应力分布的学科。在实际工程问

题中，物体的形状、材料属性和外力作用往往非常复杂，解析解难以求得。因

此，数值方法成为解决这类问题的重要工具。数值方法通过将连续的物理问题

离散化，转化为一系列的代数方程，然后通过计算机求解这些方程，从而得到

问题的近似解。

1.1.2有限体积法与有限元法的历史背景

有限体积法(FVM)和有限元法(FEM)是两种广泛应用于弹性力学数值分析

的方法。FEM最早由工程师们在1950年代提出，用于解决结构力学问题，随后

在60年代被数学家们系统化和理论化。FVM则是在流体力学领域发展起来的，

主要用于求解偏微分方程，特别是对流扩散方程。尽管两者的发展背景不同，

但它们在解决弹性力学问题时都展现了各自的优势和局限性。

1.2有限体积法(FVM)

1.2.1原理

FVM的核心思想是基于守恒定律，将计算域划分为一系列控制体积，然后

在每个控制体积上应用守恒定律，得到控制体积的守恒方程。这些方程组成了

整个计算域的离散方程组，通过求解这些方程，可以得到控制体积内的物理量

的平均值。在弹性力学中，FVM主要用于求解应力和应变的分布。

1.2.2内容

在弹性力学中应用FVM，首先需要将物体的计算域离散化为一系列的控制

体积。然后，对于每个控制体积，应用弹性力学的基本方程，如平衡方程和本

构方程，得到控制体积的守恒方程。这些方程通常是非线性的，需要通过迭代

方法求解。

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1.2.2.1示例

假设我们有一个简单的弹性力学问题，需要求解一个长方体在均匀压力作

用下的应力分布。我们可以将长方体离散化为一系列的小立方体，每个小立方

体作为一个控制体积。然后，对于每个控制体积，应用平衡方程和胡克定律，

得到控制体积的守恒方程。这里，我们不提供具体的代码示例，但可以描述一

个简单的算法流程：

1.离散化计算域：将长方体离散化为小立方体。

2.定义控制体积：每个小立方体作为一个控制体积。

3.应用守恒定律：对于每个控制体积，应用平衡方程和胡克定律。

4.求解方程组：通过迭代方法求解得到的非线性方程组。

5.后处理：分析和可视化应力分布结果。

1.3有限元法(FEM)

1.3.1原理

FEM的核心思想是将计算域划分为一系列的单元，然后在每个单元上假设

物理量的分布形式，通常是多项式函数。通过在单元边界上应用边界条件和在

单元内部应用弹性力学的基本方程，可以得到单元的刚度矩阵。将所有单元的

刚度矩阵组合起来，形成整个计算域的刚度矩阵，然后求解这个矩阵方程，得

到物理量的分布。

1.3.2内容

在弹性力学中应用FEM，首先需要将物体的计算域离散化为一系列的单元。

然后，对于每个单元，假设应力和应变的分布形式，通常是多项式函数。通过

在单元边界上应用边界条件和在单元内部应用弹性力学的基本方程，可以得到

单元的刚度矩阵。将所有单元的刚度矩阵组合起来，形成整个计算域的刚度矩

阵，然后求解这个矩阵方程，得到应力和应变的分布。

1.3.2.1示例

考虑一个简单的弹性力学问题，需要求解一个长方体在均匀压力作用下的

应力分布。我们可以将长方体离散化为一系列的三角形或四边形单元。然后，

对于每个单元，假设应力和应变的分布形式为线性函数。通过在单元边界上应

用边界条件和在单元内部应用弹性力学的基本方程，可以得到单元的刚度矩阵。

这里，我们不提供具体的代码示例，但可以描述一个简单的算法流程：

1.离散化计算域：将长方体离散化为三角形或四边形单元。

2.定义单元：每个单元上假设应力和应变的分布形式为线性函数。

3.应用弹性力学方程：在单元边界上应用边界条件，在单元内部应

用弹性力学的基本方程。

4.求解方程组：组合所有单元的刚度矩阵，形成整个计算域的刚度

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矩阵，然后求解这个矩阵方程。