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弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)在弹性力学中的应用

1弹性力学与数值方法简介

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。数值方法则是解决复杂工程问题的有效工具，它通过将连续问题离

散化，转化为计算机可以处理的离散问题，从而得到近似解。在弹性力学中，

有限体积法（FVM）是一种广泛应用的数值方法，它基于守恒定律，通过在网

格上计算体积积分来求解偏微分方程。

1.1弹性力学基本方程

弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程和物理方程。平衡方程描述

了应力与外力之间的关系，几何方程连接了位移与应变，而物理方程则给出了

应力与应变之间的关系，通常由胡克定律表示。

1.2数值方法在弹性力学中的应用

数值方法在弹性力学中的应用主要涉及有限差分法（FDM）、有限单元法

（FEM）和有限体积法（FVM）。其中，FVM因其在处理守恒型方程方面的优势，

特别适用于流体力学和热力学问题，但在弹性力学中也有其独特应用。

2有限体积法(FVM)概述

有限体积法是一种基于守恒原理的数值方法，它将计算域划分为一系列控

制体积，然后在每个控制体积上应用守恒定律，从而得到一组离散方程。FVM

的主要优点是它能够自然地处理守恒型方程，保证了数值解的守恒性，这对于

弹性力学中的应力和应变守恒尤为重要。

2.1FVM的基本步骤

1.网格划分：将计算域划分为一系列非重叠的控制体积。

2.守恒定律应用：在每个控制体积上应用守恒定律，将连续方程转

化为离散方程。

3.数值积分：使用数值积分技术（如高斯积分）来近似控制体积上

的积分。

4.边界条件处理：在控制体积的边界上应用适当的边界条件。

5.求解离散方程：通过迭代或其他数值求解技术求解得到的离散方

程组。

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2.2FVM在弹性力学中的应用

在弹性力学中，FVM可以用来求解应力和应变的分布。通过将弹性力学的

基本方程转化为控制体积上的守恒形式，FVM能够提供应力和应变守恒的数值

解。这种方法在处理具有复杂几何形状和边界条件的问题时特别有效。

2.2.1示例：使用FVM求解一维弹性杆的应力分布

假设我们有一根一维弹性杆，长度为1m，两端固定，受到均匀分布的外力

作用。我们使用FVM来求解杆内的应力分布。

2.2.1.1网格划分

我们将杆划分为10个等长的控制体积，每个控制体积的长度为0.1m。

2.2.1.2守恒定律应用

对于每个控制体积，我们应用一维弹性力学的平衡方程：

∂

=

∂

其中，是应力，是外力密度。

2.2.1.3数值积分

我们使用中心差分法来近似控制体积上的导数：

+1−−1

=

2

=0.1

其中，，是控制体积内的外力密度。

2.2.1.4求解离散方程

假设外力密度=100，弹性模量=200截面积=0.01，我

们可以通过求解上述离散方程来得到每个控制体积内的应力。

#Python示例代码

importnumpyasnp

#参数设置

length=1.0#杆的长度

num_cells=10#控制体积的数量

cell_length=length/num_cells#控制体积的长度

force_density=100#外力密度

elastic_modulus=200e9#弹性模量

2

cross_section_area=0.01#截面积