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弹性力学数值方法：数值积分：弹性力学中的有限元法

1绪论

1.1弹性力学与数值方法的简介

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它在工程设计、材料科学、地震学等领域有着广泛的应用。数值方

法则是解决复杂数学问题的一种手段，通过将连续问题离散化，转化为计算机

可以处理的离散问题，从而得到近似解。在弹性力学中，数值方法尤其重要，

因为许多实际问题的解析解难以获得。

1.2有限元法的历史与发展

有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一种数值求解偏微分方程的方

法，最早由工程师在20世纪50年代提出，用于解决结构工程中的复杂问题。

随着计算机技术的发展，有限元法逐渐成为解决弹性力学问题的主流方法。它

通过将结构分解为有限数量的小单元，每个单元用简单的函数来近似描述，然

后通过组合这些单元来模拟整个结构的行为。这种方法不仅能够处理复杂的几

何形状和边界条件，还能模拟材料的非线性行为。

1.2.1有限元法的基本步骤

1.结构离散化：将连续体分解为有限个单元。

2.单元分析：在每个单元上建立力学方程。

3.整体分析：将所有单元的方程组合成一个整体方程。

4.求解：使用数值方法求解整体方程。

5.后处理：分析和解释求解结果。

1.2.2有限元法的应用示例

假设我们有一个简单的梁，需要计算其在载荷作用下的变形。我们可以使

用有限元法来解决这个问题。

#导入必要的库

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义梁的长度、材料属性和载荷

length=1.0

E=200e9#弹性模量

1

I=0.001#惯性矩

q=10000#均布载荷

#离散化参数

n_elements=10

n_nodes=n_elements+1

dx=length/n_elements

#单元刚度矩阵

k=(E*I)/(dx**3)*np.array([[12,6*dx,-12,6*dx],

[6*dx,4*dx**2,-6*dx,2*dx**2],

[-12,-6*dx,12,-6*dx],

[6*dx,2*dx**2,-6*dx,4*dx**2]])

#整体刚度矩阵

K=diags([np.repeat(k[0,0],n_elements),

np.repeat(k[0,1],n_elements-1),

np.repeat(k[1,1],n_elements),

np.repeat(k[1,2],n_elements-1),

np.repeat(k[2,2],n_elements),

np.repeat(k[2,3],n_elements-1),

np.repeat(k[3,3],n_elements)],

[0,1,2,3,4,5,6]).toarray()

#边界条件

K[0,:]=0

K[0,0]=1

K[-1,:]=0

K[-1,-1]=1

#载荷向量

F=np.zeros(2*n_nodes)

F[1:-1:2]=q*dx**2/2

#求解位移向量

U=spsolve(K,F)

#输出位移结果

print(位移向量:,U)

这个例子中，我们首先定义了梁的长度、材料属性和载荷。然后，我们离

散化梁，将其分为10个单元。接着，我们构建了单元刚度矩阵，并将其组合成

整体刚度矩阵。通过施加边界条件和载荷，我们使用scipy.sparse.linalg.spsolve

函数求解了位移向量。最后，我们输出了位移结果。

有限元法的发展经历了从线性到非线性，从二维到三维，从静态到动态等