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4.2用向量方法讨论立体几何中的位置关系
新课程标准学业水平要求
1.理解线的位置关系与向珏的联系.(直观想象)
1.理解直线的方向向以和平的法向量.2.能用向址语言表述线线、线而、的平行、垂直关系.(宜观想象、数学
2.能用向址语言表述宜线与直线、宜线与平运算)
而、平与平的平行、垂直关美3•能利用直线的方向向行和平的法向,判定并证明空间中的平行、垂直关
系.(数学运算、逻辑推理)
必备知识・自主学习
1.怎样用向量判断线线平行、垂直?
导思2.怎样用向量判断线平行、垂直?
3.怎样用向量判断平行、垂直?
L用向量方法证明直线与直线平行、直线与平平行、平与平平行
⑴设直线和1的方向向量分别为VI和V2,则由向量共线的条件,
得或
与,2重合?V]〃V2.
(2)已知两个不共线向量Vi,V2与平a共,一条直线/的一个方向向量为V,
则由共向量定理,可得/〃a或/在a内?存在两个实数x,y,使v=xvi+yvz.
(3)已知两个不共线向量vi,V2与平a共,则由两平平行的判定与性质,
得。〃6或。与日重合?v/P且Vz〃B.
思考,
若a=(4—2m,m—1,m—1),b=(4,2—2m,2—2m)分别为直线/1,心的方向向
量,则实数m取哪些值时有/42?
421Tlm-]
提示:要使人〃,2,需a〃b,即一,从而m=3.另外当m=1时,显
2-2m
然也适合题意符合条件,所以当m=l或3时有
2.空间中垂直关系的向量表示
线线设直线/的方向向量为a=(a,a,a),直线m的方向向量为b=(b“
23
垂直b,b),则/±m?a•b=O?ab+a2b2—a3b3=0.
23
线设直线/的方向向量是a=(ab”Ci),平a的法向量是u=(a2,b,
2
垂直C),贝lj/J_a?a〃u?a=ku?(a”bi,cj=k(,b,c)(kER).
222
回若平a的法向量u=(a”bi,Ci),平B的法向量v=(a2,b,c),
22
垂直则aJ_0?u±v?u•v=0?aia+bib+ciC2=0.
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