专题2.4 有理数的乘方【十大题型】（举一反三）（人教版2024）（解析版）.docx

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专题2.4有理数的乘方【十大题型】

【人教版2024】

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【题型1乘方运算的符号规律】 1

【题型2乘方的逆运算（简算）】 3

【题型3乘方中的程序流程图问题】 6

【题型4乘方中的整除问题】 9

【题型5乘方中的进制问题】 11

【题型6乘方中的末尾数字问题】 13

【题型7乘方中的规律探究】 15

【题型8算“24”点】 17

【题型9乘方的实际应用】 19

【题型10乘方中的新定义问题】 22

知识点：有理数的乘方

1.有理数的乘方

一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”；

在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。

求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；

2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。

注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。

【题型1乘方运算的符号规律】

【例1】（23-24七年级·安徽合肥·期中）下列各组数中，数值相等的一组是（????）

A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23

C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32

【答案】B

【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可，注意符号．

【详解】解：A．32＝9，23＝8，故选项A不符合题意；

B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故选项B符合题意；

C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意；

D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故选项D不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查乘方的定义，根据乘方的定义准确计算是解题的关键．

【变式1-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：(?2)3=?8，?23=?8；(?3)3=?27，?33=?27；(?4)3=?64，?4

A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确

【答案】B

【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得．

【详解】解：由三组数的运算得：(?2)3

(?3)3

(?4)3

归纳类推得：当a0时，a3

由三组数的运算得：?2

?3

?4

归纳类推得：当a0时，?a

故选：B．

【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．

【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）已知4个数：（﹣1）2018，|﹣2|，﹣（﹣1.5），﹣32，其中正数的个数有（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义逐一计算即可得出答案．

【详解】解：

计算出结果：

（-1）2018=1

|-2|=2

-（-1.5）=1.5

-32=-9

根据计算答案可知正数有3个，

故选C．

【点睛】本题主要考查有理数运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义及求解方法．

【变式1-3】（23-24七年级·山东枣庄·期中）下列各式：①a2=(?a)2；②a3=(?a)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】根据乘方和绝对值的定义，逐个分情况讨论，即可解决问题.

【详解】①a2

②a3

③?a

④a3

一定成立的有①，共1个

故选A

【点睛】本题考查有理数的乘方和绝对值，熟练掌握乘方和绝对值的定义以及偶次方和绝对值的非负性是解题关键.

【题型2乘方的逆运算（简算）】

【例2】（23-24七年级·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式：

①3×52与32

②?2×32与

（2）根据以上计算结果想开去：ab3

（3）猜想与验证：当n为正整数时，abn

（4）利用上述结论，求?42022

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）ab3=a3

【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；

（2）根据（1）的结果即可得到答案；

（3）根据乘方abn的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为a?a·?·an个

（4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．

【详解】解：（1）①3×52

32

②?2×3

?22

（2）ab3

（3）abn

ab

=

=a

（4）?4

=

=

=

=0.25．

【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键．

【变式2-1】（23-24七年级·全国·单元测试）如果x5=?32，y3=8

【答案】4

【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已